A lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben egy ortogonális rendszer skalárszorzatos vektortérben értelmezhető. Vektorok egy halmaza ortogonális rendszer, ha páronkénti skalárszorzatuk nulla. Ha ehhez még a rendszerben minden vektor normája egy, akkor a rendszer ortonormált. Definíció Egy skalárszorzatos vektortér egy részhalmaza ortogonális rendszer, ha: -ben bármely két különböző vektor ortogonális egymásra: A halmaz nem tartalmazza a nullvektort. Itt a téren értelmezett skalárszorzat.
Továbbá, ha -ben minden vektor normált, vagyis , akkor ortonormált rendszer. Tulajdonságok Az ortogonális rendszerek lineárisan függetlenek. Szeparábilis Hilbert-terekben, például véges dimenziós Hilbert-terekben a Gram–Schmidt-féle ortogonalizációval minden lineárisan független rendszerből ortogonális rendszer, ebből normálással ortonormált rendszer kapható. Ugyanezzel az eljárással Schauder-bázisból ortogonális bázis, illetve ortonormált bázis kapható. Az ortonormált bázis pedig ortogonális koordináta-rendszer alapja. Egy ortonormált rendszerre teljesül a Bessel-egyenlőtlenség:
Minden esetén legfeljebb megszámlálható sok van, amire .
Példák a standard skalárszorzattal: a standard bázis ortonormált rendszer. -ben a a függvények ortogonális rendszert alkotnak. a skalárszorzattal: az sorozatok ortogonális rendszert alkotnak. A legfeljebb ötödfokú polinomok terében az skalárszorzattal: az és függvények ortogonális rendszert alkotnak. Források Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, . ( „Erzeugendensystem“ fejezet, véges dimenziókra) Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, . Kapitel V.3 (végtelen dimenzióra, a példák bizonyításokkal) Fordítás
Kategória:Lineáris algebra Kategória:Funkcionálanalízis