A Källén–Lehmann-féle spektrális ábrázolás, vagy másképpen Lehmann-reprezentáció, általános összefüggést fejez ki a kölcsönható kvantumtérelmélet (időben rendezett) két-pont függvényeire a szabad propagátorok összegének segítségével. Egymástól függetlenül dolgozta ki Gunnar Källén (1952) svéd és Harry Lehmann (1954) német fizikus. Általánosan a következő összefüggés adja meg:
ahol az impulzus, a kölcsönható kvantumtérelmélet alapállapota, a a relativisztikus kvantummezők időrendezett szorzata, illetve a pedig a spektrális sűrűségfüggvény. A spektrális sűrűségfüggvénynek pozitív definitnek kell lennie. Viszont kiemelendő, hogy a mértékelméletekben ez utóbbi feltétel nem teljesül, de a spektrális ábrázolás mégis előállítható.
Matematikai levezetés Egy skalármező propagátorának spektrális ábrázolásának származtatásához először vegyük a kvantumállapotok egy teljes halmazát . Ekkor a két-pont korrelációs függvényre átírható a következő alakra, ahol:
Használjuk ki az alapállapot Poincaré-invarianciáját, amely a következő összefüggésre vezet:
Ezután bevezetjük a spektrális sűrűségfüggvényt:
ahol azt a tényt használtuk ki, hogy a két-pont korrelációs függvény, mivel függvénye, csak a -től függ. Emellett az összes köztes állapot rendelkezik és tulajdonságokkal. Ebből belátható, hogy a spektrális sűrűségfüggvény valós és pozitív, szóval
A két integrált felcserélve a kifejezést átalakíthatjuk a következőképpen:
ahol a Feynman-propagátor:
.
A CPT-tételből azt is tudjuk, hogy létezik egy ekvivalens kifejezés a -ra, és így jutunk el a mezők időrendezési szorzatának kifejezéséhez
ahol
a szabadrészecske propagátor.
Fordítás
Jegyzetek
Bibliográfia
Kategória:Kvantumtérelmélet