A matematikában, pontosabban a csoportelméletben a csoporthomomorfizmus olyan leképezés, mely a csoportstruktúrával kompatibilis. A matematika olyan területein, ahol olyan csoportokat vizsgálnak, amelyek további struktúrával vannak ellátva, a homomorfizmus gyakran olyan leképezést jelent, amely ezt a további struktúrát is megőrzi. Például, a topologikus csoportok homomorfizmusairól gyakran felteszik, hogy folytonosak.
Definíció Legyenek és csoportok. Egy leképezést csoporthomomorfizmusnak hívunk, ha bármely -re teljesül
ahol az egyenlet bal oldalán a , jobb oldalán pedig a csoportművelete szerepel.
A definíció következményei Ha neutrális eleme , akkor neutrális eleme . Ennek bizonyítására legyen neutrális eleme. A neutrális elem és a csoporthomomorfizmus definíciójából következik, hogy
Ebből következik, hogy .
Egy csoporthomomorfizmus a neutrális elemen kívül bármely elem inverzét is megtartja: bármely -re teljesül . Ezt hasonlóan lehet bizonyítani:
Ha részcsoportja -nek, akkor részcsoportja -nak: mivel a részcsoport definíciója szerint , ezért . A csoporthomomorfizmus definíciójából pedig következik, hogy bármely -re teljesül, hogy is eleme, tehát részcsoportja -nak.
Hasonló módon bizonyítható, hogy ha részcsoportja -nak, akkor részcsoportja -nek. Továbbá, ha normálosztója -nak, akkor normálosztója -nek.
Típusai Monomorfizmus: injektív homomorfizmus Epimorfizmus: szürjektív homomorfizmus Izomorfizmus: olyan homomorfizmus, amely egyszerre injektív és szürjektív, tehát bijektív. Egy csoportizomorfizmus inverze is csoportizomorfizmus. Ha és csoportok, csoportizomorfizmus, akkor -t és -t izomorfnak hívjuk. Ebben az esetben és elemei a neutrális elemet kivéve kizárólag jelölésükben különböznek. Endomorfizmus: olyan homomorfizmus, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is ugyanaz a csoport. Egy csoporthomomorfizmust endomorfizmusának hívjuk. Automorfizmus: olyan csoportendomorfizmus, amely bijektív, tehát csoportizomorfizmus is. Egy adott csoport automorfizmusainak halmaza a függvénykompozíció műveletével szintén csoportot alkot, ezt automorfizmus-csoportjának hívjuk, jelölése .
Mag és kép Adott csoporthomomorfizmus magja alatt értjük olyan elemeit, amelyeket a homomorfizmus neutrális elemébe képez le:
a homomorfizmus képe pedig
Az első izomorfizmustétel kimondja, hogy normálosztója -nek, és izomorf a faktorcsoporthoz.
A csoporthomomorfizmus akkor és csak akkor injektív, (tehát csoportmonomorfizmus) ha .
Példák Legyen az egész számok csoportja, egy tetszőleges csoport és . A leképezés egy csoporthomomorfizmus, ugyanis
Ha egy ciklikus csoport, melynek generátora , rendje pedig , akkor és . Legyen az invertálható -es valós mátrixok csoportja a mátrixszorzás műveletével. A determináns definíciójának segítségével létrehozható egy csoporthomomorfizmus , ugyanis .
Abel-csoportok homomorfizmusai Legyen egy tetszőleges csoport, pedig egy Abel-csoport. A és közötti csoporthomomorfizmusok halmazát jelöljük -val, mely önmaga is egy Abel-csoport a „pontbeli” összeadás műveletével:
A homomorfizmusok összeadása a következőképpen kompatibilis a függvénykompozícióval: ha , , és , akkor és
Mivel a kompozíció asszociatív, egy adott Abel-csoport endomorfizmusainak halmaza egy gyűrűt alkot, ezt endomorfizmusgyűrűjének hívjuk.
Kategóriaelméletben A olyan kategória, melynek objektumai csoportok, morfizmusai pedig csoporthomomorfizmusok. A definíciót lehetővé teszi, hogy a csoporthomomorfizmusok kompozíciója egy asszociatív művelet, továbbá és csoporthomomorfizmusokra teljesül, hogy is egy csoporthomomorfizmus. A véges csoportok kategóriája teljes részkategóriája -nek.
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kategória:Csoportelmélet