A Skolem–Noether-tétel az algebra, azon belül a gyűrűelmélet egy tétele. A tétel szerint egy egységelemes egyszerű gyűrűn, ami véges dimenziós a centruma felett, minden olyan automorfizmus, ami a gyűrű centrumán az identitás, belső automorfizmus.

A tételt először Thoralf Skolem norvég matematikus bizonyította be. A tétel róla és Emmy Noetherről van elnevezve.

Terminológia Ebben a cikkben a gyűrű szó egységelemes, nem feltétlenül kommutatív gyűrűt jelent. Egy gyűrű egyszerű, ha nincs önmagán és a nullán kívüli kétoldali ideálja. Egy gyűrű automorfizmusa egy bijektív homomorfizmus. Egy automorfizmus belső, ha kifejezhető egy invertálható elemmel való konjugációként, azaz létezik olyan egység, hogy teljesül minden gyűrűelemre. Egy gyűrű centruma azon elemek részgyűrűje, amik minden gyűrűelemmel kommutálnak. Egy egyszerű gyűrű centruma szükségszerűen test.

Állítás A definícióból egyenesen következik, hogy egy gyűrű bármeny belső automorfizmusa az identitás a centrumon. A Skolem–Noether-tétel ennek az állításnak a megfordítása. A szakirodalom nem egységes abban, hogy a következő állítások melyikét nevezi Skolem–Noether-tételnek.

Skolem–Noether-tétel egyszerű gyűrűkre Legyenek A és B egyszerű gyűrűk. Tegyük fel, hogy A centruma a B centrumának egy testbővítése, és hogy A véges dimenziós B centruma felett: , .

Ekkor bármely két -algebrahomomorfizmushoz létezik egy egység, hogy .

Következmény: minden automorfizmus belső Legyen A egy egyszerű gyűrű, ami véges dimenziós a centruma felett, azaz . Ekkor A minden -algebrahomomorfizmusa belső automorfizmus, azaz minden automorfizmushoz létezik olyan , hogy . Az f automorfizmus nem határozza meg az x elemet egyértelműen: valóban, ha x-re teljesül a fenti tulajdonság, akkor minden zx-re is, ahol .

Következmény: egyszerű gyűrű egyszerű részgyűrűjei közötti izomorfizmus belső Legyen A egy egyszerű gyűrű, ami véges dimenziós a centruma felett, azaz . Legyenek B illetve B''' egyszerű részgyűrűk A-ban úgy, hogy létezik egy -algebrahomomorfizmus, és . Ekkor f belső automorfizmus.

Ez az állítás a átfogalmazható a következőképpen: ha A egyszerű gyűrű, véges dimenziós a centruma felett, és egy -algebrahomomorfizmus, akkor f kiterjeszthető A egy belső automorfizmusává.

Alkalmazások A Skolem–Noether-tételből Hilbert 90. tételét használva következik, hogy ha D'' egy prím indexű ferdetest, akkor az redukáltnorma-leképezés injektív, azaz az redukált Whitehead-csoport triviális.

Jegyzetek

Források

Kapcsolódó szócikkek Cartan–Brauer–Hua-tétel

Kategória:Gyűrűelmélet