bélyegkép|jobbra|200px|Különböző csomók, köztük a triviális csomóval (balra fent) és a lóherecsomóval (közvetlenül alatta) bélyegkép|jobbra|200px|Lóherecsomó, a legegyszerűbb nem triviális csomó
A csomóelmélet a topológia matematikai csomókat tanulmányozó területe. Bár a mindennapi életben megjelenő, például cipőfűzőkkel vagy kötéllel létrehozható csomók inspirálták, a matematikai csomók eltérnek abban, hogy zártak, és végeik nem választhatók szét. A legegyszerűbb csomó a gyűrű (vagy triviális csomó). Matematikai megfogalmazásban a csomó egy kör 3 dimenziós euklideszi térbe () való beágyazása. Két csomó ekvivalens, ha egymásba transzformálhatók önmagába való deformációjával (környezeti izotópia), e transzformációk egy csomó olyan transzformációjának felelnek meg, melynek nem része annak vágása vagy átvitele önmagán.
A csomók többféleképp írhatók le. Különböző leírási módszerekkel egy csomó egynél többféleképp írható le. Például gyakori csomóleírási módszer a síkbeli csomódiagram, melyben bármilyen csomó lerajzolható sokféleképp. Így alapvető csomóelméleti kérdés annak meghatározása, mikor határoz meg két leírás azonos csomót.
E kérdésre ismeretlen számítási összetettségű teljes algoritmikus megoldás létezik. Haken-sokaságok elméletét felhasználó vázlata alapján. Egy újabb elemzést Hass közölt 1998-ban. A gyakorlatban a csomókat csomóinvariánssal különböztetik meg, ami olyan érték, mely a csomó különböző leírásai esetén azonos. Fontos invariánsok például a csomópolinomok, a csomócsoportok és a hiperbolikus invariánsok.
A csomóelmélet alapítóinak első célja a csomók és láncok leírása, melyek több összekapcsolt csomóból állnak. A csomóelmélet 19. századi megjelenése óta több mint 6 milliárd csomót és láncot írtak le.
A további ismeretek szerzéséhez a matematikusok a csomófogalmat többféleképp általánosították. A csomók vizsgálathók más 3 dimenziós terekben, és a körtől eltérő objektumok is használhatók. Például a magasabb dimenziójú csomó +2 dimenziós euklideszi térbe ágyazott -gömb.
Történet bélyegkép|jobbra|200px|Összetett kelta csomózás az 1200 éves kellsi kódexben
A régészek kimutatták, hogy a csomókötés a történelem előtti időkre nyúlik vissza. A feljegyzésekhez és tárgyak összekapcsolásához való használata mellett esztétikájuk és spirituális jelentőségük miatt is használtak csomókat. A csomók a kínai művészetek különböző formáiban is megjelennek több évszázaddal időszámításunk előtt keletkezett művekben. A végtelen csomó a tibeti buddhizmusban jelent meg, míg a Borromeo-gyűrűk több különböző kultúrában jelentek meg egymástól függetlenül, gyakran az egységben megmutatkozó erőt szimbolizálva. A kellsi kódexet író kelta főpapok teljes oldalakat töltöttek ki összetett kelta csomókkal.
bélyegkép|jobbra|200px|A csomók első rendszerezője, Peter Guthrie Tait
A csomók matematikai leírását 1771-ben alakította ki Alexandre-Théophile Vandermonde, aki lejegyezte a csomók topológiai jellemzői fontosságát tulajdonságaik leírásában a helyzet geometriájához vszonyítva. A csomók matematikai tanulmányozása a 19. században kezdődött, amikor Carl Friedrich Gauss meghatározta a láncintegrált . Az 1860-as években William Thomson örvényelmélete, mely szerint az atomok az éter csomói voltak, Peter Guthrie Tait első teljes osztályozású csomókatalógusaihoz vezetett. Tait 1885-ben közölte a 10-nél nem több metszéssel rendelkező csomók katalógusát és a Tait-sejtéseket. Ez a csomóelmélet korai művelőit motiválta, de a csomóelmélet végül a fejlődő topológia részévé vált.
A 20. század elején dolgozó topológusok – Max Dehn, J. W. Alexander és társaik – a csomókat a csomócsoport és a homológiaelméleti invariánsok, például az Alexander-polinom szempontjából vizsgálták. Ez lett végül a csomóelmélet fő megközelítése, amíg több áttörés átalakította a területet.
Az 1970-es évek végén William Thurston bevezette a csomóelméletbe a hiperbolikus geometriát a hiperbolizációs tételen keresztül. Számos csomóról kiderült, hogy hiperbolikus csomók, lehetővé téve a geometria használatát új csomóinvariánsok meghatározására. A Jones-polinom Vaughan Jones általi 1984-es felfedezése és Edward Witten, Makszim Koncevics, Louis Kauffman közreműködései alapvető kapcsolatokat mutattak ki a csomóelmélet és a statisztikai mechanika és a kvantummező-elmélet matematikai módszerei közt. Számos csomóinvariánst fedeztek fel azóta összetett eszközök, például kvantumcsoportok és Floer-homológia használatával.
A 20. század utolsó évtizedeiben a tudósok fizikai csomókat is elkezdtek vizsgálni a dezoxiribonukleinsav és más polimerek csomósodási jelenségei vizsgálatára. A csomóelmélet használható annak megállapítására, hogy egy molekula királis-e . A csavarsorok, melyek két rögzített véggel rendelkező csomók, hatékonyan használhatók a DNS-topoizomeráz hatásának vizsgálatára . Ezenkívül a csomóelmélet fontos lehet a kvantumszámítógépek építésében a topológiai kvantumszámítás modellje alapján .
Csomóekvivalencia
A csomó létrehozása egydimenziós vonal önmaga köré hajlításával, majd két szabad vége zárt körré való egyesítésével történik . Egyszerűen fogalmazva, egy csomó egyszerű zárt görbe – vagyis „majdnem” injektív és folytonos függvény, ahol az egyetlen injektivitástörés, hogy . A topológiában a csomókat és más csomócsoportokat, például a láncokat és fonatokat ekvivalensnek tartják, ha a csomó átalakítható önátmetszés nélkül más csomóval való egybeesésig.
A csomóekvivalencia egy precíz meghatározása annak, mikor egyenlő két csomó akkor is, ha máshogy vannak elrendezve. Formális matematikai definíció szerint két csomó ekvivalens, ha van olyan irányítástartó homeomorfizmus, melyre .
A csomóekvivalencia e definíciójának jelentése, hogy két csomó ekvivalens, ha a térnek van olyan folytonos homeomorfizmuscsaládja, melynek utolsó tagja az első csomót a másodikhoz rendeli. (Részletesen: a és csomók ekvivalensek, ha létezik olyan folytonos hozzárendelés, melyre tetszőleges esetén az hozzárendelése -hez önmagára mutató homeomorfizmusa, bármely -ra, és . Az ilyen függvény környezeti izotópia.)
A csomóekvivalencia e két meghatározása pontosan megegyezik abban, mely csomókat tartja ekvivalensnek. Két, az irányítástartó homeomorfizmuson alapuló definíció szerint ekvivalens csomó ekvivalens a környezeti izotópián alapuló szerint is, mivel önmagára való irányítástartó homeomorfizmusa egyben az egységről induló környezeti izotópia utolsó része. Ugyanígy két, a környezeti izotópián alapuló definíció szerint ekvivalens csomó ekvivalens az irányítástartó homeomorfizmuson alapuló szerint is, mivel a környezeti izotópia (végső) állapotának az egyik csomót a másikhoz rendelő irányítástartó homeomorfizmusnak kell lennie.
A csomóelmélet alapproblémája, a felismerési probléma két csomó ekvivalenciájának meghatározása. Algoritmusok léteznek a probléma megoldására, az elsőt Wolfgang Haken adta meg az 1960-as évek végén . Azonban ezek az algoritmusok különösen időigényesek lehetnek, és az elméletben fő kérdés, hogy milyen nehéz e probléma . A triviális csomó felismerése mint speciális eset (a triviális csomó problémája) különösen jelentős . 2021 februárjában Marc Lackenby új kvázipolinom időben futó triviáliscsomó-felismerő algoritmust hozott létre.
Csomódiagramok bélyegkép|jobbra|200px|Tenfold Knottiness, IX. lap Peter Guthrie Tait On Knots című 1884-es cikkéből
A csomók vizualizálásának és módosításának hasznos módja a csomó lapra való leképezése – mintegy mintha falra vetne árnyékot. A leképezés irányának kis változása biztosítja, hogy a függvény injektív a kétszeres pontok, a kereszteződések kivételével, ahol a csomó „árnyéka” önmagát transzverzálisan metszi . Minden átmetszésnél az eredeti csomó rekonstrukciójához a felső és alsó szálak megkülönböztethetők. Ez általában az alsó szál megtörésével oldható meg. Az így kapott diagram immerzált síkgörbeként jelenik meg ama kiegészítő adattal, hogy mely szál van felül, és melyik alul az egyes metszéseknél. E diagramok csomódiagramok, ha csomót, és láncdiagramok, ha láncot mutatnak. Ennek megfelelően a 4 dimenziós térben lévő csomók 3 dimenziós térbeli immerzált felületként jeleníthetők meg.
A redukált diagram olyan csomódiagram, melyben nincs redukálható metszés. A sziromprojekció olyan projekció, ahol kettőzési pontok helyett minden szál egy metszéspontban metszi egymást, melyhez egymásba nem ágyazott „szirmokat” alkotó körökben csatlakoznak.
Reidemeister-lépések 1927-ben diagrammatikus rajzolásán dolgozva J. W. Alexander és Garland Baird Briggs, valamint tőlük függetlenül Kurt Reidemeister, kimutatták, hogy két azonos csomóhoz tartozó csomódiagram egymásba alakítható három lépésfajtával, melyek alább szerepelnek. E műveletek a Reidemeister-lépések, és a következőkből állnak:
Annak bizonyítása, hogy az ekvivalens csomók diagramjai a Reidemeister-lépésekkel egymáshoz kapcsolhatók, annak elemzésén alapul, hogy mi történik az egyik csomó másikká alakÍtásának síkprojekcióján. A lépés megalkotható úgy, hogy a folyamat majdnem egészén a projekció csomódiagram marad, kivéve véges számú „esemény” vagy „katasztrófa” idején, például ha 2-nél több szál metszi egymást egy pontban, vagy több szál érintkezik egy pontban. Egy közeli vizsgálat kimutatja, hogy az összetett események elkerülhetők, így csak az egyszerűbbek maradnak:
egy „csúcs” keletkezése vagy megszűnte, 2 szál érintkezése egy pontban és áthaladása egymáson, 3 szál metszése egy pontban.
Ezek pontosan a Reidemeister-lépések .
Csomóinvariánsok bélyegkép|jobbra|200px|Nyolcascsomó 3D-nyomtatott komplementere François Guéritaud, Saul Schleimer és Henry Segerman által
A csomóinvariáns olyan jellemző, mely ekvivalens csomóknál azonos . Például ha az invariáns csomódiagramból számított, azonos értéket kell kiadnia két ekvivalens csomót bemutató csomódiagram esetén. Egy invariáns azonos értékeket vehet fel egynél több különböző csomónál, így képtelen lehet minden csomó megkülönböztetésére. Elemi invariáns a háromszínezhetőség.
„Hagyományos” csomóinvariánsok például a csomókomplement alapcsoportja – a csomócsoport – és a csomókomplement végtelen ciklikus fedéséből szerkesztett modulból, az Alexander-invariánsból számítható Alexander-polinom . A 20. század végén fedeztk fel olyan invariánsokat, mint a kvantum-csomópolinom, a Vaszilijev-invariánsok vagy a hiperbolikus invariánsok. Ezek azonban a modern csomóelméletnek csak egy részét alkotják.
Csomópolinomok A csomópolinom csomóinvariáns polinom. Jól ismert a Jones-, az Alexander- és a Kauffman-polinom. Az Alexander-polinom egy változata, az Alexander–Conway-polinom, egész együtthatós polinom változóban .
Az Alexander–Conway-polinom valójában a láncok terén definiált, melyek egy vagy több összekapcsolt csomóból állnak. A csomókra fent magyarázott fogalmak, például a diagramok és a Reidemeister-lépések a láncokra is teljesülnek.
Adott egy irányított láncdiagram – olyan láncdiagram, ahol a lánc minden komponense rendelkezik nyíllal jelölt preferált iránnyal. A diagram meghatározott metszésénél legyen a diagram ábra szerinti megváltozásából szerezhető 3 irányított diagram:
200px
Az eredeti diagram lehet vagy a választott metszés konfigurációja szerint. Ekkor a Alexander–Conway-polinom rekurzívan meghatározható az alábbi szabályok szerint:
(ahol a triviális csomó tetszőleges diagramja), .
A második szabály a „skein reláció”. Annak ellenőrzésére, hogy e szabályok az irányított lánc invariánsát adják, meghatározandó, hogy a polinom nem változik a 3 Reidemeister-lépés során. Sok fontos csomópolinom meghatározható így.
Az alábbi a skein relációval történő számítás példája. Ez a lóherecsomó Alexander–Conway-polinomját számítja ki. A sárga területek jelzik a reláció alkalmazásának helyét.
C ( Fájl:skein-relation-trefoil-plus-sm.png ) = C ( Fájl:skein-relation-trefoil-minus-sm.png ) + z C ( )
megadja a triviális csomót és a Hopf-láncot. A reláció Hopf-láncra való alkalmazásakor:
C ( Fájl:skein-relation-link22-plus-sm.png ) = C ( Fájl:skein-relation-link22-minus-sm.png ) + z C ( )