Az autoregresszív integrált mozgóátlag, rövidítve ARIMA (Autoregressive integrated moving average) egy statisztikában és ökonometriában idősor-elemzésekhez használt modell.

Története George E. Box és Gwilym M. Jenkins népszerűsítette az autoregresszív mozgóátlag modellek alkalmazását idősor prognosztizálási feladatokra. Miközben ezt a módszert eredetileg az 1930-as években fejlesztették ki, nem volt széleskörűen ismert, amíg Box és Jenkins nem publikálta részletes leírását könyv formában 1970-ben.Box, G.E.P. - Jenkins, G.M. : Time Series Analysis. Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco, CA. A Box és Jenkins által ajánlott általános módszer, ARIMA modellek alkalmazása idősorelemzésre, prognosztizálásra és ellenőrzésre az idősorelemzés Box-Jenkins módszertanaként lett ismert. Az ARIMA (AUTOREGRESSIVE – INTEGRATED - MOVING-AVERAGE = autoregresszív integrált mozgóátlag) modellezés menetét a következőkben foglaljuk össze. A szochasztikus idősori modellek integrált autoregresszív és mozgóátlag (rövidítve ARIMA) modellcsaládjának elnevezésében, az AR az autoregresszív, az MA a mozgóátlag jelzőre, az I betű (integrated) pedig az összegzésre utal. Az autoregresszív (AR) modell, az idősor jelenlegi értékét, saját előző értékeinek függvényében fejezi ki, természetesen, mint sztochasztikus modell, kiegészülve a véletlen ingadozást reprezentáló változóval. Az autoregresszió a regresszió olyan formája, melyben az eredményváltozó más magyarázó változók helyett saját különböző késleltetésű múltbeli értékeihez kapcsolódik. Statisztikai szempontból tehát egyváltozós idősorelemzést végzünk. Az ARIMA matematikai modellje bélyegkép|260px| Az Arima modellezés lépései

ARIMA (p, q.) p az autoregresszivitás rendjét, A q a mozgóátlag folyamat rendjét jelöli.

X= idősoros megfigyelt adatok, egész szám,

t= a megfigyelés időpontja, t, t-1, t-2 stb. időpontban,

α (alfa)= az autoregressziós becslés paramétere,

L= késleltető (lag) operátor,

εt (epszilon)= a hiba a t, t-1, t-2, stb. időpontokban,

α (alfa)= a modell autoregresszív részének paraméterei,

θ (théta)= a mozgóátlag rész paraméterei.

Mozgóátlag. Két különböző jelentése van ennek a kifejezésnek. Először: idősoroknál a k- tagú mozgóátlagot k egymást követő megfigyelési érték átlagaként definiálhatjuk. Ezt felhasználhatjuk simításra vagy előrejelzésre. Másodszor: a Box - Jenkins modellezésben az MA a mozgóátlag rövidítése az ARIMA-ban, és az jelenti, hogy az idősor értékét a t időpontban befolyásolja a jelenlegi hibatag és a múltbeli hibatagok súlyozott kombinációja.

ARMA modell. Az ilyen típusú idősori modell formája lehet autoregresszív (AR) vagy mozgóátlag (MA) vagy a kettő kombinációja (ARMA, vagy más néven vegyes modell).

A vegyes (ARMA) modell az idősor jelenlegi értékét, saját előző értékeinek, és a jelenlegi, illetve a múltbeli véletlen változók függvényében fejezi ki. Az autoregresszív integrált mozgóátlag (ARIMA) modell, a differencia- vagy különbözet- képzéssel stacionáriussá transzformált, ún. d-ed rendű integrált idősorokra felírt ARMA modell. A vegyes (ARMA) modell az idősor jelenlegi értékét, saját előző értékeinek, és a jelenlegi, illetve a múltbeli véletlen változók függvényében fejezi ki.

vagy azzal egyenértékűen

Átírva:

Ha p=p-d az ARIMA modell:

Az ARIMA modellezés kiindulópontja annak megállapítása, hogy a vizsgálni kívánt idősorunk stacionárius-e, illetve, ha nem, akkor az, hogy alkalmas transzformációval stacionáriussá tehető-e. Ezzel eldöntöttük azt, hogy az adott idősorhoz illeszthető-e ARIMA modell, ha igen milyen (d) dimenzióval (fokkal) rendelkezik. A következő kérdés annak megválaszolása, hogy milyen típusú ARIMA modell illesztésével próbálkozzunk, illetve, milyen legyen az autoregresszivítás (p) és/vagy, a mozgóátlagolás (q) rendje. Erre a kérdésre a választ a tapasztalati, vagy a transzformált idősor ACF és PACF értékei (autokorrelációs- és parciális autokorrelációs együtthatók) alapján adjuk meg. A modellezés ezen fázisát, modell azonosításnak (identifikációnak) nevezi a szakirodalom.

Ezután a modellezés lépései alapvetően megfelelnek a már ismert lineáris regressziós modellezésnek. A választott modell paraméterbecslése után a modell ellenőrzése következik. A modell ellenőrzése során vizsgáljuk azt, hogy paraméterei szignifikánsak-e, illetve véletlen változóik fehér zaj folyamatot követnek-e. Speciálisan az ARMA modelleknek van stacionarítási (az idősor jellemzői időben állandóak, azaz függetlenek a t időváltozótól) és invertibilitási (azaz a becsült paraméterek abszolút értéke kisebb, mint egy) feltétele is, melyek a modell paramétereinek értékére vonatkozó megszorításokként jelennek meg. Ezután döntünk arról, hogy felhasználható-e az illesztett modell elemzésre, előrejelzésre, vagy más modell választásával kell próbálkoznunk. Az ARIMA modellek dimenzióit a következő módon adjuk meg: ARIMA (p, d, q). A gyakorlati alkalmazások szerint az idősorok nagy része jól közelíthető olyan modellekkel, melyeknél az autoregresszivitás és a mozgóátlag folyamat rendje (p és q), illetve a differenciaképzés foka (d) alacsony. Általában mindhárom dimenzió - a (p), a (d), és a (q) is 0, vagy 1, vagy 2 értéket vesz fel. Olyan idősorok elemzésére, melyek szezonális ingadozást is tartalmaznak, az ún. szezonális ARIMA modellek alkalmasak.

Az ARIMA modellezés feltevése szerint tehát, az idősorok által reprezentált sztochasztikus folyamatok, viszonylag egyszerű lineáris modellekkel leírhatók. A modellezési technika kidolgozásának alapvető célja, megbízható rövidtávú előrejelzések készítése. A modellezés során a megfigyelt idősorban tapasztalható belső összefüggések alapján következtetünk a sztochasztikus folyamat jellegzetességeire. E jellemzők határozzák meg a választott modell típusát. A modell paramétereinek segítségével - melyeket a megfigyelt idősorból becsülünk, - leírható az a "szisztéma", aminek alapján az idősor jelen időszaki értéke előállítható, az idősor múltbeli értékeinek és/vagy az elmúlt időszakban realizálódott véletlen eltéréseknek a lineáris kombinációjaként. A modellek alkalmazásának végső soron az a célja, hogy választott megbízhatósági szint mellett az idősor jövőbeni értékeire intervallumbecslést tudjunk adni. Az idősorokban tapasztalható belső összefüggések megállapítása az idősorok korrelációs struktúrájának feltárását jelenti, ez indokolja a modellkészítés nagy adatigényét. Általában 100-120 elemű megfigyelt idősorra van minimálisan szükség, mivel célszerű minél nagyobb késleltetésig elmenni, ami azt jelent, hogy általában a K= 20-25. A hosszú időtávot átfogó, összehasonlítható adatsor megfigyelése sokszor megnehezíti a modellezést, amihez hozzájárul még az alkalmas, lehetőleg ingyenes, szoftverek beszerzése.

Az ARIMA modellezés kiindulópontja annak megállapítása, hogy a vizsgálni kívánt idősorunk stacionárius-e, illetve, ha nem, akkor az, hogy alkalmas transzformációval stacionáriussá tehető-e. Ezzel eldöntöttük azt, hogy az adott idősorhoz illeszthető-e ARIMA modell, ha igen milyen (d= DIFFERENCE, DIFFERENCIA) dimenzióval (fokkal) rendelkezik.

1.a Stacionárius idősor. Az idősor stacionárius, ha a statisztikai jellemzői függetlenek a konkrét időperiódustól a megfigyelés folyamán.

1.b Nem stacionárius idősor. A tapasztalati idősor nem stacionárius jelleget mutat, ha az alapjául szolgáló folyamat átlaga és/vagy varianciája nem konstans. A gyakorlatban az idősor ábrájának tanulmányozása, illetve az idősor autokorrelációinak sorozata felhasználható annak megállapítására, hogy az egyik, vagy mindkét feltétel fennáll-e. Az első lépés tehát stacionarítás biztosítása.

Az ARIMA modelleknél történő előrejelzéseknél tehát két modellt különböztetünk meg.

Az első, ha az idősor stacionárius:

A második, ha az idősor nem stacionárius:

A Box-Cox transzformáció, annak érdekében, hogy az idősor stacionárius legyen.Ramanathan Ramu : Bevezetés az ökonometriába alkalmazásokkal. Panem. 281.

λ (Lambda) = 1 nincs transzformáció

λ (Lambda)= (-2, -1,9…..+1,9,+2)

Ha az idősor polinomiális tartalmaz egy négyzetgyök tényezőt (a tényező ) ami a d, átalakítható a következőképen:

Az ARIMA (p, d, q) folyamat ezt a tulajdonságot a p = p−d, értékkel fejezi ki és a következő képlet adódik:

Differenciálás

Egy stacionárius idősor tulajdonságai nem változnak. Pontosabban: egy tág értelemben vett stacionárius idősor esetében az átlag és a variancia/autokovariancia az idő függvényében állandó marad. A statisztikában a differenciálás egy olyan transzformáció, amelyet nem stacionárius idősorokra alkalmaznak annak érdekében, hogy azokat stacionáriussá tegyék a trend vagy a nem állandó átlag eltávolításával vagy kivonásával. Ez azonban nem befolyásolja a variancia vagy az autokovariancia nem stacionáriusságát. Hasonlóképpen, a szezonális differenciálás vagy a szezonális kiigazítás egy idősorra alkalmazott eljárás, amelynek célja a szezonális komponens eltávolítása.

Az adatok differenciálásához kiszámítjuk az egymást követő megfigyelések közötti különbséget. Matematikailag ez a következőképpen írható le:

Előfordulhat, hogy az adatokat másodszor is differenciálni kell egy stacionárius idősor előállításához; ezt másodrendű differenciálásnak nevezik:

A differenciált adatokat ezután egy ARMA-modell becsléséhez használják fel. Ismert ARIMA modellek és változatok

ARIMA (p, d, q): Az AR modell, az MA modell és az I modell kombinációja. Az ARIMA modellezés kiindulópontja annak megállapítása, hogy a vizsgálni kívánt idősorunk stacionári-us-e, illetve, ha nem, akkor az, hogy alkalmas transzformációval stacionáriussá tehető-e. Ezzel eldöntöttük azt, hogy az adott idősorhoz illeszthető-e ARIMA modell, ha igen milyen (d) dimenzióval (fokkal) rendelkezik. ARIMA(0,0,0): Fehér zaj (white Noise) ARIMA(0,1,0): Véletlen bolyongás (random walk). ARIMA(1,1,0): Módosított elsőrendű autoregresszív modell. ARIMA(0,1,1): Egyszerű exponenciális simítás. SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m: Szezonális ARIMA, amely figyelembe veszi az ismétlődő mintázatokat (szezonális ciklus hossza: m). AutoARIMA: Olyan algoritmus, amely automatikusan választja ki az optimális paramétereket.

Előrejelzési intervallumok

Az ARIMA-modellek előrejelzési intervallumai azon a feltételezésen alapulnak, hogy a rezidiumok egymással nem korrelálnak és normális eloszlásúak. Ha ezek közül bármelyik feltételezés nem teljesül, akkor az előrejelzési intervallumok helytelenek lehetnek. Emiatt a kutatók az előrejelzési intervallumok kiszámítása előtt ábrázolják a reziduumok ACF-jét és hisztogramját, hogy ellenőrizzék a feltételezések helyességét.

95%-os előrejelzési intervallum: , ahol a varianciája.

Ha , akkor minden ARIMA-modell esetében, a paraméterektől és a rendektől függetlenül.

Az ARIMA(0,0,q) modell esetében:

Általánosságban elmondható, hogy az ARIMA-modellekből származó előrejelzési intervallumok az előrejelzési horizont növekedésével együtt nőnek. Interneten elérhető ingyenes ARIMA szoftverek

Angol nyelven. JMulti. Gretl. ARIMA Backward Selection - Free Statistics Software (Calculator) StatSim. Forecast. Method. ARIMA. Box-Jenkins. Wessa.net (Free Time Series Analysis Software). ARIMA Forecasting - Free Statistics Software (Calculator). EViews: has extensive ARIMA and SARIMA capabilities. Mathematica: includes ARIMAProcess function. MATLAB: the Econometrics Toolbox includes ARIMA models and regression with ARIMA errors NCSS (statistical software): includes several procedures for ARIMA fitting and forecasting.ARIMA in NCSS ,Automatic ARMA in NCSS , Magyar nyelven. Microsoft Excel. Sipos Béla. ARIMA modellek. 228-261. In.: Az alábbi parancsfájlok: 1.stacionaritás-biztosítás.xlsm, 2ACF-PACF-Qszámítása.xlsm, 3ARIMA. In:

Az ARIMA modellezés három lépésben, három Excel parancsfájl használatával történik.