hochkant=1.25|thumb|Elsőfajú ( és ) és másodfajú () arany háromszögek; a piros szög Az elemi geometriában az arany háromszög egy egyenlő szárú háromszög, melynek alapja és szárai az aranymetszés szerint aránylanak egymáshoz.Krauter: S. 200 Megkülönböztetünk első- és másodfajú arany háromszöget. Az elsőfajú arany háromszög hegyesszögű, szögei , és fokosak. A másodfajú arany háromszög tompaszögű, szögei , és fokosak.Lambacher-Schweizer: S. 165
Az angol szakirodalomban csak az elsőfajú arany háromszöget nevezik arany háromszögnek (golden triangle). A másodfajú arany háromszöget golden gnomon néven emlegetik. A szögek meghatározása Elemi módszerekkel thumb|jobbra|hochkant=1|Euklideszi szerkesztésssel megrajzolva: a piros terület az első- és a zöld a másodfajú arany háromszög A arany háromszög leghosszabb oldalára felmérjük a legrövidebb oldalt a legkisebb szög irányából, és az így kapott pontot összekötjük a szemben fekvő csúccsal. Ezzel a eredeti háromszöget két részháromszögre osztjuk.
A háromszögek hasonlóságával adódik, hogy vagy hasonló -hoz. Innen levonható a következtetés, hogy a belső szögek összege megegyezik a legkisebb szög ötszörösével. Ebből adódóan a legkisebb szög . Ha ez a szög a csúcsszöge, akkor elsőfajú arany háromszög. Ha ez a szög a alapon fekvő szöge, akkor másodfajú arany háromszög. A háromszög belső szögeire vonatkozó tétel szerint az első esetben a belső szögek , a második esetben .Krauter: S. 199–200 Trigonometriával thumb|jobbra|hochkant=0.45|Az elsőfajú arany háromszög szögei , és fokosak Euklidész szerint . thumb|jobbra|hochkant=1|A másodfajú arany háromszög szögei , és fokosak Euklidész szerint Ha elsőfajú arany háromszög alapja , és szárai illetve , akkor , és :
Ha az csúcsnál levő szög, és a math>\mathrm C</math> csúcsnál levő csúcsszög, akkor
ebből
innen a belső szögek összegével
Hogyha másodfajú arany háromszög, akkor a fentiekhez hasonlóan
amiből
továbbá
végül a belső szögek összegére vonatkozó tétel szerint
Jellemzés Az arany háromszögek éppen azok az egyenlő szárú háromszögek, melyeknek van -os szöge. Jelentősége az, hogy a szabályos ötszög eukideszi módszerrel való szerkesztésének ez az egyik eleme. Szerkesztés Eukleidész az Elemekben írt egy speciális egyenlő szárú háromszögről, amit ma arany háromszögként ismerünk. Ez a háromszög később egy körülírt körével adott szabályos ötszög (egyenlő oldalú és egyenlő szögű ötszög) leírásában is szerepel. Az arany háromszög körzővel és vonalzóval szerkeszthető. Ezt a megadott adatoktól függően különféleképpen lehet elvégezni. Adott körülírt kör thumb|hochkant=1|Arany háromszög, körülírt körével
Ha adott a háromszög körülírt köre, akkor egy, a körbe írt szabályos ötszög elegendő.
Először is felrajzoljuk a körülírt kört adott középponttal és a megadott sugárral. Kijelölünk egy átmérőt. Elfelezzük a sugarat, így kapjuk az pontot. Merőlegest állítunk az középponttal, ami kimetszi a pontot a körülírt körből. körül körívet húzunk az sugárral, ez kimetszi a pontot a átmérőn. A beírt szabályos ötszög oldalhossza .
Ezután körzőnyílásba véve ezt a hosszt, mint sugárral két körívet húzunk: körül, kapjuk -t; körül, kapjuk -t; egy harmadik ív körül adja az oldalhosszt. Ezután már csak az és szárakat kell meghúzni, így elkészül az arany háromszög.
Adott alap thumb|hochkant=1|Arany háromszög, alapjával megadva
Ha az alap van megadva, akkor az aranymetszés arányát kell megszerkeszteni, a rövidebb szakasz ismeretében.
Felmérjük az szakaszt, és kijelöljük felezőpontját, -t. körül körívet húzunk sugárral, majd ugyanezzel a sugárral körül is, ezek metszéspontja . Ezután az szakaszt meghosszabbítjuk -n túlra, és merőlegest állítunk -ban, ami az körül húzott körívet -ben metszi.
A következő körívet körül húzzuk sugárral, ami a hosszabbításból kimetszi a pontot. A hossz lesz a háromszög szárának hossza. körül sugárral körívet húzunk, ami az -ből induló, -n átmenő félegyenest -ben metszi. Ezután a és szárakat behúzva előáll az arany háromszög.
Adott szár thumb|hochkant=1|Adva a teljes rész: Aranymetszés szerinti felosztás Eukleidész módszerével
Itt egy szakasz van megadva, melyet az aranymetszés arányában kell felosztani.
Az szakaszra az pontban merőlegest állítunk, melynek hossza az szakasz fele. Meghosszabbítjuk ezut a szakaszt az ponton túl, és kört húzunk a pont körül sugárral, ami a meghosszabbítást a pontban metszi. Ezután kört húzunk az pont körül sugárral, ami kimetszi az szakaszból az osztópontot.
A hosszabb szakaszrésszel és a teljes szakasszal megszerkesztjük az arany háromszöget.
Képzőművészet Irene Schramm-Biermann képe, a Dreiecke im Goldenen Schnitt (pigmentek és akril lenvásznon) tartalmaz egy alaposabb megfigyeléssel felfedezhető zöéld színnel megjelölt spirálvonalat. Elindul a legkisebb sárga háromszögből, és logaritmikus spirált formál. Felvetődhet a kérdés, hogy a háromszögek határozzák-e meg a spirált, vagy a spirál a háromszögeket. Bármelyik lehetséges. thumb|links|hochkant=2|Dreiecke im Goldenen Schnitt
Előfordulása A fent leírt háromszög felosztása és háromszögekre előállítja az arany háromszög mindkét formáját. A két forma együtt él.Livio: S. 79 Adódnak a szabályos ötszög és a szabályos tízszög szerkesztésekor. A , és külön is szerkeszthetők körzővel és vonalzóval.Krauter: S. 201 A szabályos ötszögben
Szabályos tízszög parkettázása arany háromszögekkel A szabályos tízszög számos módon parkettázható arany háromszögekkel. A következő példák ezek közül mutatnak be néhányat, melyekben első- és másodfajú arany háromszögek is szerepelnek:
Tízszög parkettázásai arany háromszögekkel
A jobb és a bal képen mindkét fajta háromszögből 10-10 szerepel, míg a középső képen 20 elsőfajú és 10 másodfajú arany háromszög szerepel.Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2023, , S. 176/177
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Háromszögek