A matematikában az sorozat generátorfüggvénye az hatványsor.
Több alkalmazása is lehetséges. Segítségével a sorozat további jellemzői deríthetők ki, illetve egyes jellemző mennyiségek számítását is megkönnyíti. A generátorfüggvényt használjuk a matematikai rekurzív sorozatok n-edik tagjának meghatározására, mint például a Fibonacci-számoknál.
A statisztikában és a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:
(itt χ jelöli a valószínűségi változót, pedig a valószínűséget).
A valószínűségszámításban a valószínűséggeneráló függvény segítségével meghatározhatók az eloszlás és a valószínűségi változó különféle jellemzői, illetve megkönnyíti bizonyos műveletek (független valószínűségi változók összegének jellemzése, konvolúció, összeg kiszámítása).
Tulajdonságai Kapcsolat a várható értékkel: A generátorfüggvény hatványsora abszolút konvergens a |z|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény differenciálható, a deriválás tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül. A generátorfüggvény és az eloszlás kölcsönösen meghatározza egymást. Ez a kapcsolat folytonos. A generátorfüggvény k-adik deriváltjával:
Ha a hatványsor nagyobb körben is konvergál, akkor:
Tetszőleges r-re:
Ha r=2:
A generátorfüggvény r-szeri deriválhatósága balról x=1-ben ekvivalens az összes momentum létezésével egészen az r-edik momentumig. A generátorfüggvény és a konvolúció kapcsolata:
Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye Az (n, p) paraméterű binomiális eloszlás generátorfüggvénye:
A λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye:
A p paraméterű geometriai eloszlás generátorfüggvénye: (ahol )
Az (r, p) paraméterű negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye: (ahol )
Források Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Kategória:Valószínűségszámítás