A varianciaanalízis számos egyező szórású, normális eloszlású csoport átlagának összevetésére alkalmas statisztikai módszer, melyet angol megnevezésének (analysis of variance) kezdőbetűiből generálva ANOVA-ként is ismernek.
Elemi információk az ANOVA-ról Eltérő módon lerögzített varianciák segítségével viszonyítja egymáshoz a populáció különböző középértékeit. Adott vizsgálat során előálló teljes adatmennyiség, mint alaphalmaz össz-szórását, konkrétabban, összvarianciáját analizálja abból a nézőpontból, hogy ingadozás okára keresi a választ. Annak a tisztázását segíti, hogy a fentebb említett szórásbeli eltérések mögött a véletlen vagy egy másik magyarázó tényező hatása bújik-e meg. Ilyen tényezőnek tekinthető adott populáción belüli csoportok átlagai közti eltérést. A varianciák számítását és becslését arra a matematikai tényre alapozva vezeti le, hogy a teljes variancia számlálója, azaz a teljes eltérés-négyzetösszeg független elemek összegeként állítható elő, emellett a nevező, azaz a szabadsági fok az adott komponensek szabadsági fokainak összegeként áll elő.
Kutatási kérdések Van-e differencia / változás a tapasztalt eredmények között? Eltérésre, változásra keres magyarázatot. Van-e hatása a kísérleti manipulációnak – a kontrollhoz viszonyítva – a célváltozóra? Egzaktabbul az átlagra gyakorolt hatást elemzi.
Változók Nominális vagy ordinális változókat intervallum szintűekkel vet össze. Nominális és ordinális szintű változók: a nem, a településformák típusai... Intervallumváltozók: magasság, testsúly, jövedelem, teljesítmény, fogyasztási költségek... Magyarázat: A függő változó: y= intervallumváltozó középérték mentén történő szórását részekre bontja, és ezek közül van olyan, melyet a független változó: x= nominális vagy ordinális szintű, egyúttal magyarázó változó hatásának lehet betudni.
Nullhipotézis Nincs különbség az átlagok között, a kezelések/csoportok a célváltozó átlagára nézve minden mintában/kezelési csoportban azonosak. Szignifikanciaszint<0,05, ekkor nullhipotézist elvetjük, van különbség, az átlagok nem egyenlők. Szignifikanciaszint>0,05, ekkor a nullhipotézist megtartjuk, nincs különbség, az átlagok egyeznek. Alkalmazási feltételek A függő változó magas mérési szintű (legalább intervallum szintű) Normál eloszlás (vagy legalább szimmetrikus) A vizsgált csoportokban az elemszám közel azonos A függő változó szórása azonos a csoportokban, vagy legalábbis a szórás nem korrelál a csoportátlaggal
Alternatív hipotézis Nem minden átlag egyenlő, a kezelések/csoportok között különbség van.
Feltételek ellenőrzése Az alábbi statisztikai próbákkal lehetséges: Normalitás vizsgálata: khí-négyzet próba, Kolmogorov–Szmirnov-próba Szórások egyenlőségének ellenőrzése: Bartlett-próba, Levene-teszt
Módszerek osztályozása A vizsgálati / lefuttatási szempontok száma (egy- és többszempontos varianciaanalízis) és a minták függetlensége szerint. Az ismételt méréses varianciaanalízis: legalább egy szempont szerint kapcsolódó minták. Pl. egy szempont szerint független, a másik szerint összefüggő minták: kétszempontos ismételt méréses varianciaanalízis Az ismételt méréses szempont szerint lefolytatott analízis varianciáját egyedeken belüli (within subject, intrasubject) , a független szempont szerint csoportosított egyedek közötti (between subject, intersubject) varianciával jellemezzük.
Típusai Egyszempontos varianciaanalízis
Az egytényezős (one-way, one-factor) varianciaelemzés tulajdonságai: Számos, általában paralel elrendezésű csoport folytonos, normális eloszlású tulajdonságának átlagát veti össze, ezen belül csak egy szempont eltérésére fókuszál. Kiindulópontja az F-próba, ami az átlagok eltérésére karakterisztikus »csoportok közötti« varianciát veti össze a random ingadozást leíró »csoportokon belüli« varianciával. A csoportosító változót faktornak nevezzük. Ha egy faktornak a függő változóra gyakorolt befolyását elemezzük, akkor egyszempontos varianciaanalízisről beszélünk. A különbségek felkutatása mélyebb elemzésekkel – ismétléses vagy kontrasztbeli összehasonlításokkal – fokozható. Példa: Többféle kezelést vagy többféle betegcsoportot hasonlítunk össze egy adott szempontra nézve.
Többszempontos varianciaanalízis A csoportok függetlensége és többféle szempont szerinti vizsgálata esetén két- vagy többszempontos (multifactor) varianciaanalízissel vetjük össze az átlagokat. Kétszempontos varianciaanalízis Az összehasonlítandó egységek két független szempontból is elemezhetők (pl. kísérleti manipuláció fajtája és nemek szerint). Ebben az esetben a két szempont (pl. a kezelések különbségei) hatása mellett vizsgálható a kettő kölcsönhatása (interakció) is. Interakció: az egyik faktornak a függő változóra hatását módosítja a másik faktor. Példa: A két összetevő együtt másképpen hat-e, mint egyedül (pl. a kezelések közötti eltérések függnek-e a nemtől).
Többszempontos varianciaanalízis Az egyszempontos varianciaanalízis általánosításának tekinthető arra a helyzetre, amikor több faktornak a függő változóra gyakorolt hatását vizsgáljuk. Többszörös kölcsönhatások is előadódhatnak. Példa: Nemek szerint és kezelések szerint elemzést végzünk. Kísérleti személyek testtömege hogyan függ a nemüktől és a mérés idejétől?
Fő különbség az egyszempontos és többszempontos ANOVA között Az utóbbival az egyes faktorok kitüntetett hatása mellett azok interakcióját is analizálhatjuk.
Ismételt méréses varianciaanalízis Ha a csoportok összetartozó minták csoportjai, akkor ezt kell használjuk.
Példa: Ugyanazon egyedeken több mérést folytatnak több időpontban vagy különböző kísérleti elrendezések mellett.
A varianciaanalízis és a t-próbák összefüggései A varianciaanalízis a t-próbák általánosítása több csoport esetére. Varianciaanalízisnél a szórásnégyzeteket F-próbával elemezzük, így következtetünk a hatások szignifikanciájára. Páros t-próbánál két különböző populáció elvárt értékének egyezését kutatjuk mindkét sokaságból n elemű mintát választva, ahol az adatok páronként összekapcsoltak, más szóval a minták nem függetlenek. Ezeket az adatokat lefuttathatjuk egy véletlen és egy rögzített faktor szerinti varianciaanalízissel is. Ilyen helyzetben rögzített faktor a két eltérő sokaság (két szinttel), a véletlen faktor az a tényező, ami alapján az adatokat párokba soroljuk (n szinttel). A varianciaanalízisnél a rögzített faktor hatásvizsgálatára lefuttatott F-próba matematikailag bizonyítható módon azonos a páros t-próba próbastatisztikájának elemzésével. A varianciaanalízis rögzített feltételeinek a páros t-próbánál is teljesülniük kell, a két módszer statisztikai ekvivalenciája miatt. Az egyszempontos varianciaanalízis a független mintás t-próba általánosítása, amikor több mint két minta átlagát szeretnénk egymáshoz hasonlítani. Két minta esetében az egyszempontos ANOVA és a független mintás t-próba eredménye megegyezik.
Számításának lépései 1. A minták azonos populációba tartoznak-e? Ha az eredménye szignifikáns (nem tartoznak egy populációba a mintáink), akkor továbblépünk és feltesszük a következő kérdést. Melyik minták átlagai különböznek szignifikánsan? Ha az első lépés eredménye összességében nem szignifikáns, akkor az átlagok közötti különbség sem, tehát a számítás befejeződik. 2. Az utólagos analízis, a páronkénti vizsgálódás, amit post hoc analízisnek is hívnak. Több módszerét is elfogadott, például Tukey-féle eljárás. A post hoc analízis jelzi, hogy mely mintapárok átlagai közötti eltérés szignifikáns.
SPSS és a varianciaanalízis SPSS: Analyze / Compare Means / One-Way Anova vagy Analyze / General Linear Model / Univariate, ld. többszempontos ANOVA Dependent List függő változó(k) megadására szolgáló mező Factor csoportosító változót, független változó ide kerül Contrasts gombbal alkalmazhatunk kontrasztokat Az egyes csoportok bármely kombinációinak összevetésekére használhatók Alapesetben két csoport összehasonlítására: A faktor változónk elemzendő szintjeihez írjunk 1-et és -1-et, a többi szinthez 0-t Összetettebb kontrasztok esetében: A kontraszt két tagját a faktor több szintjének súlyozásával határozzuk meg. Leggyakrabban az „azonos oldalon lévő” értékek összege 1 (vagy -1) legyen. Kontrasztokat csak a két átlag viszonyáról való előzetes hipotézis meglétekor használjunk. Next: több összehasonlítás lefolytatása esetén Post Hoc: post hoc elemzések Egyező varianciák esetén a Tukey, különböző Tamhane-próbát ajánlott. A posthoc elemzések ajánlottak a kontrasztok helyett, ha a futtatás után valamilyen váratlan hatást, eredményt találunk, és ennek az okára szeretnénk rájönni. Options a leíró statisztikák bejelölésére szolgál (Descriptive), a szóráshomogenitás kontrollálása (Homogenity of Variance Test), ha a szóráshomogenitás nem teljesül, a Brown-Forsythe vagy a Welch-próbát használjuk; Means Plot kapott eredményeink grafikus ábrázolására szolgáló gomb Eredmények: Descriptives: az alapvető leíró statisztikáknak a faktorváltozó által meghatározott csoportonkénti bontásában történő bemutatása Test of Homogeneity of Variances: a Levene-próba eredménye a szóráshomogenitási feltétel ellenőrzésére (ha a teszt szignifikáns, a szórások nem homogének) ANOVA: a varianciaanalízis eredménye; Between Groups sor szignifikanciája esetében, a vizsgált csoportosító változó szignifikánsan hat a függő változóra, azaz a csoportátlagok különböznek (FONTOS! Kizárólagosan NEM jelzi a csoportátlagok páronkénti szignifikáns különbségét!) Robust Test of Equality of Means: a szóráshomogenitási kritérium sérülésekor, a Brown-Forsythe- vagy a Welch-próba futtatása mellett, ebből a táblázatból kiderül ezeknek az ANOVÁ-nál robusztusabb módszereknek az eredménye Contrast Tests: a kontrasztok szignifikanciáját tünteti fel; két sora mutatja a szórások egyezősége és különbözősége esetén számolt eredményeket Contrast Coefficients táblázat több kontraszt számításakor ajánlott Post Hoc Tests – Multiple Comparisons: a post-hoc tesztek eredményét jelzi; a csoportátlagok különbözőségének szignifikanciaszintjét elemezzük.
A varianciaanalízis modellezése Az általános lineáris modell segítségével, ami egy folytonos függő változó értékeit elemezi arra nézve, hogy a véletlen hibán kívül, mely tényezők additív hatásai érvényesülnek még. Modellek osztályozása a szintek rögzítettsége alapján
Fix modell A szempontok szintjei rögzítettek, fixek, a hatások konstansok (pl. a kezeléshatás). Véletlen modell A szempontok szintjeit véletlenszerűen választjuk (pl. a résztvevők kiválasztása, vagy az egyes vizsgálatok hatásai), a hatások valószínűségi változók (véletlen hatás). Kevert modell Rögzített és véletlen hatások is jelentkeznek. Ismételt méréses adatoknál célszerű, főleg, ha hiányzó értékek is előfordulnak.
Variancia-kovariancia-elemzés (ANCOVA)
A tényezők mellett folytonos magyarázó változókat (ún. kovariánsok) is bevonunk az elemzésbe, amelyek kihatását a célváltozóra lineáris regresszióval fejezzük ki (pl. túlélési idő függése a műtét típusának, és a beteg nemének, valamint életkorának függvényében). Ha a kovariánstól való függés nemlineáris, értékeit csoportosítsuk, és ANOVA-t futtassunk. Alkalmas az egyes csoportokbeli regressziós egyenesek meredekségének elemzésére. (A meredekségek eltérését az mutatja, ha a csoport-kovariáns interakció szignifikáns.) Azon tényezőkre, amelyeknek nem tudjuk, vagy nem akarjuk az összes szintjét elemezni. Például a mérési idő (napszak, évszak), a földrajzi elhelyezkedés, többcentrumos kutatásban a vizsgáló intézmény, a kísérletvezető, stb. Ebben az esetben nem a figyelembe vett szintek (időpontok, földrajzi helyek, intézmények, személyek) között van-e és mekkora a különbség a lényeges a vizsgálat tekintetében, hanem hogy ezek az eltérések összességében mennyivel járulnak hozzá a vizsgált változó varianciájához (a többlet-varianciát el tudjuk választani a véletlen hibától).