300px|jobbra|bélyeg|A 0,999... ábrázolása
A matematikában a 0,999... végtelen szakaszos tizedestört, amelyet még
vagy
alakban is írnak. Érdekessége, hogy eggyel egyenlő, minthogy az 1 számnak két tizedestört előállítása is van, az
1,000… és a 0,999…
Más szavakkal a '0,999...' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum. Magának az 1 = 0,999... egyenlőségnek (illetve az ilyen típusú egyenlőségeknek) sokféle bizonyítása ismert, ezek a szigorúság különböző fokán állnak, attól függően, hogy középiskolások vagy felsőbb tanulmányokat folytatók számára készültek.
Az utóbbi évtizedekben a matematikapedagógusok vizsgálatokat végeztek arra vonatkozóan, hogy a tanulók mennyire fogadják el az 1 = 0,999... típusú egyenlőségeket. A felmérések szerint a tanulók közül sokan alapvetően megkérdőjelezik vagy elutasítják az egyenlőség fennállását, sokakat pedig a tankönyvek, a tanárok és aritmetikai érvelések meggyőznek arról, hogy igaz a szóban forgó egyenlőség. Mindazonáltal gyakorta ragaszkodnak ahhoz, hogy az állítás igazsága további igazolásra szorul. A diákok érvelése (akár az állítás cáfolásakor, akár igazolásakor) általában a valós számokkal kapcsolatos néhány intuitív elképzelés körül csoportosul. Például, hogy minden egyes számnak egyetlen tizedestört alakja van. Egy másik elképzelés, hogy az 1 a 0,999...-től végtelen kicsiben különbözik, ahol a különbség az infinitezimális egység.
Definíció
A 0,999... az a szám, amely a 0; 0,9; 0,99; 0,999, ... sorozat határértéke. E sorozat n-edik elemében n–1 kilences van a tizedesvessző után. Így az az állítás, hogy 0,999... = 1, egyenértékű azzal, hogy ez a sorozat az egyhez tart.
A határérték létezik, hiszen a sorozat monoton növekvő (az n+1-edik tag 9-nel nagyobb az n-ediknél) és felülről korlátos (az 1 jó felső korlát).
A 0,999… = 1 állítás A 0,999... végtelen tizedestört, és az állítás néhány nagyon egyszerű bizonyítása kihasználja a tízes számrendszer aritmetikai tulajdonságait. Az összehasonlítás alaptulajdonsága: két véges tizedestört, aminek különbözőek a jegyeik, különböző számot jelent, eltekintve az utánuk írt nulláktól. Az 1 nem kitüntetett szám abban az értelemben, hogy csak ő rendelkezne két tizedestört alakkal. Minden véges tizedestört alakban írható szám kétféleképpen is megadható. Például:
Továbbá a valós számok végtelen sor alakjában való felírása, mint amely maga a 0,999... kifejezés is, a tízestől különböző számrendszerben sem feltétlenül egyértelmű. Minden számrendszerben vannak olyan valós számok, melyek többféleképpen írhatók fel az adott számrendszerben, mi több, ez még a tört és irracionális alapú számrendszerekben is így van. A jelenség alkalmazásaként megemlíthetjük a Cantor-halmazra vonatkozó vizsgálatokat. Speciálisan, bármely 0,99...9 alakú szám egynél kisebb, ha véges sok kilences van benne.
Kételkedők és érveik
Még a matematika szakos hallgatók (de mérnökök, indformatikai szakemberek, filozófusok etc. is) How Bad Math Spread to Physics and Beyond -with Steve Patterson. The Demistify Podcast, YouTube is gyakran kételkednek 0,999... és 1 egyenlőségében. Az okok között szerepel a határérték szabatos fogalmától való makacs idegenkedésük és az infinitezimális mennyiségek természetéről való – a bevett nézethez képest – másként gondolkodásuk. A zavart több közös tényező fokozza:
Úgy látják, hogy minden valós számnak egyféle tizedestört alakja van. Számukra az a jelenség, hogy egy számnak két lényegesen eltérő tizedestört alakja van, paradoxnak tűnik, zavarukat csak fokozza, hogy pont az 1-ről van szó, amiről azt gondolják, hogy ennek természetét már jól ismerik.Bunch p. 119; Tall and Schwarzenberger p. 6. Az utóbbi megjegyzés Burrelltől (p. 28): Talán a legmegbízhatóbb szám az 1, így különösen lesújtó, ha valaki a 0,999…-et 1-ként értelmezi. Néhányan úgy értelmezik a "0,999…" alakot, mint ami sok, de véges sok 9-esből áll, melyek darabszáma esetleg változó vagy határozatlanul nagy. Ha pedig mégis elfogadják a végtelen sok 9-est, akkor pedig egy utolsó 9-est képzelnek valahová a végtelenbe.Tall és Schwarzenberger pp. 6–7; Tall 2000 p. 221 A határérték fogalmának intuitív vagy homályos bevezetése, feltételezése az oktatásban ahhoz vezethet, hogy a hallgatók a határérték megadását inkább valamiféle végtelen eljárásnak fogják fel, mint egy konkrét értékre való rámutatásnak, előtérbe helyezve azt a jelenséget, hogy a sorozatnak nem kell elérnie határértékét. Amikor a sorozat és határértékének különböző volta a hallgatók számára világos, akkor intuitív tárgyalás esetén számukra a "0,999…" szimbólum sokkal inkább sorozat, mint határérték.Tall és Schwarzenberger p. 6; Tall 2000 p. 221 Egyesek a 0,999...-et rögzített értéknek fogják fel, ami egy infinitezimális mértékű mennyiséggel kisebb 1-nél. Mások meggyőződése, hogy egy konvergens sor összege legjobb esetben is csak közelítés, azaz 0,999... ≈ 1.
Mindezen szemléletek a valós számok hagyományos értelmezésében hibás gondolatmenetek alapjai, ám néhány közülük érvényes lehet más számkörökben, például a nemsztenderd valós számok elméletében. Hasznosak lehetnek továbbá akár általános matematikai értelemben, akár tanulságos ellenpéldaként tekintve, ami a 0,999... jobb megértéséhez vezethet.
Nagy részükkel David Tall is találkozott, amikor a tanulást és a gondolkodást tanulmányozta hallgatói körében. Úgy találta, hogy a hallgatók azért utasították el először ennek az egyenlőségnek a gondolatát, mert a 0,999... számot egy olyan sorozatnak látták, amely egyre inkább megközelíti az 1-et, és nem egy rögzített értékként.
A következő vélemények is felmerültek:
A 0,999... szám a legnagyobb végtelen tizedestört, ami kisebb 1-nél. Nem határozhatod meg, hogy hány tizedesjegye van.Tall 2000 p. 221
Legtöbbjük meggyőzhető az elemi bizonyítások segítségével, de vannak, akik továbbra is kételkednek és frusztrálódnak.Tall 1976 pp. 10–14 A hallgatók, akik képesek precíz definíciókat alkalmazni, egy meglepő eredmény láttán automatikusan újra az intuitív képek hatása alá kerülnek, így a kevésbé elemi bizonyításokat sem mindig értik meg.
Egy valós analízist tanuló hallgató például képes volt belátni, hogy 1⁄3 = 0,333... a szuprémum segítségével, de még mindig ellenállt a 0,999... = 1 egyenlőségnek, a hosszú osztásra vonatkozó tapasztalataira hagyatkozva.Pinto and Tall p. 5, Edwards és Ward pp. 416–417 Mások, akik szintén be tudják bizonyítani, hogy 1⁄3 = 0,333..., még mindig nem érzik megfelelőnek a törteket használó bizonyítást, mondván, hogy a logika fontosabb a matematikában, mint a számítások.
Joseph Mazur mesélte, hogy volt egy egyébként kitűnő hallgatója, aki majdnem mindenben kételkedett, amit az oktatója mondott, de mindig hitt a számológépének. Azt hitte, hogy 9 tizedesjegy elég a matematikához, még ahhoz is, hogy kiszámolja 23 négyzetgyökét. Képtelen volt megérteni a 9,99... = 10 határértékes bizonyítását, és „vadul elképzelt végtelen növekvő sorozatnak” nevezte.Mazur pp. 137–141
Ed Dubinsky és Tsai elmélete szerint, akik a 0,999... számot véges, de meghatározatlanul hosszúnak fogják fel, amely egy végtelenül kis mennyiséggel kisebb 1-nél, azok nem értették meg a végtelen tizedestörteket eredményező végtelen sorokat. Megint mások a sor és sorösszeg fogalmát nem képesek megkülönböztetni. Számukra a 0,999... egy sort (tehát egy számítási eljárást és nem sorösszeget, vagyis számot) jelöl, míg az 1 az szám, azaz nem ugyanolyan minőségű, így nem lehetnek egyenlők.Dubinsky et al. 261–262
Bizonyítás Egyszerű bizonyítás Ha , akkor . Mivel , ezért
Algebrai bizonyítások Bizonyítás törtekkel
A törtek felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban. Így például 1⁄3 egyenlő lesz a 0,333... végtelen szakaszos tizedestörttel, amiben a 3-as számjegy végtelen sokszor ismétlődik. Ezt az egyenlőséget hárommal szorozva adódik a 0,999... = 1 egyenlőség.
Minden 3-as számjegy 3-mal szorzódik, így lesz belőle 9, ezért 3 × 0,333... = 0,999... (nincs átvitel), és 3 × 1⁄3 = 1, tehát .Vö. Ugyanezzel az érveléssel kettes számrendszerben:
A bizonyítás egy másik változata az 1/9 = 0,111... egyenletet szorozza 9-cel.
Ugyanennek a bizonyításnak egy könnyített változata 9/9 = 1, és 9/9 = 0,999..., mivel 1/9 = 0,111... Az egyenlőség tranzitivitása miatt 1 = 0,999...
Ez az okoskodás hallgatólagosan feltételezi, hogy a végtelen tizedes törtekkel ugyanúgy kell szorozni, mint a végesekkel: itt például bizonyítás nélkül elfogadjuk, hogy a
típusú azonosságokból következik, hogy
Számjegy-manipuláció
A bizonyítás egy másik módja azt a tényt használja ki, hogy 10-zel szorozva a jegyek nem változnak, csak a tizedesvessző mozdul el, és hallgatólagosan feltételezi, hogy ez a szabály a végtelen tizedes törtekre is érvényes. Ezért 10 × 0,999... = 9,999..., ami 9-cel nagyobb az eredeti számnál.
A 9,999... – 0,999... kivonás jegyről jegyre végezhető el, és 9 – 9 = 0 minden, a tizedesvessző utáni jegyre fennáll. Így a művelet eredménye 9.
Most felírunk egy egyenletrendszert, és megoldjuk 0,999...-re. Nevezzük ezt a számot c-nek. Az egyenlet így néz ki: 10c – c = 9. Ez lényegében ugyanaz, mint 9c = 9. Ezt 9-cel osztva c = 1.
Egyenletek sorozatával felírva
Valós analízis
A 0,999...-re vonatkozó kérdés valójában nem érinti az analízis megalapozási problémáit, valós számok bevezetéséhez nincs szükség tizedestört-előállításra, így az ezzel a kérdéssel való foglalkozás a matematika szokásos felépítésében sokáig halogatható. Előbb-utóbb azonban elkerülhetetlen, hogy az analízis definiálja a valós számok tizedestört alakját. Ezen olyan
szimbólumsorozatot értünk, melyben b0 jelöli a szám egészrészét, a törtrészt pedig a
végtelen, tizedesjegyekből álló sorozat elemei reprezentálják. A tizedesvessző az egész- és a törtrészt választja el. A 0,999... vizsgálatánál eltekinthetünk a negatív egészrész esetétől, sőt akár magától az egészrésztől is. Világos, hogy:
a törtrészben végtelen sok jegy is lehet, a jelölés helyiértékes, azaz például az 5 az 500-ban tízszer annyit ér, mint az 50-ben, és 0,05-ben tízszer annyit ér, mint 0,005-ben.
Végtelen sorozatok és sorok
A végtelen tizedestörteket többnyire végtelen sorok összegeként vezetik be. Általános esetben a tizedestört alak által kijelölt szám értéke:
Mivel a 0,999...-ben a tizedesjegyek mind azonosak, ezért az előbbi képlet kiszámításához elegendő a mértani sorokról szóló tételhez fordulnunk. Eszerint, ha a tetszőleges valós szám, amely a mértani sor kezdőeleme és |r| < 1 szám, akkor
Jelen esetben a sor az előbbi második tagjánál kezdődik:
A 0,999... esetén a = 9 és r = , ezért a képlet ekkor
Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706
Ez a bizonyítás (pontosabban a 9,999... = 10 bizonyítása) Leonhard Euler 1770-es Az algebra elemei című munkájában is szerepel.Euler 170. o.
Felhasználtuk azt a tételt, ami szerint, ha (an) konvergens számsorozat, és határértéke a, akkor tetszőleges -re a can sorozat is konvergens, és határértéke ca.
Ennek bizonyításához először tekintsük azt a speciális esetet, amikor a = 0.
Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és K > |c| pozitív szám. (an) tart a nullához, ezért ε /K -hoz van egy elég nagy N szám, hogy ha n>N, akkor |an| < ε /K. Eszerint minden n>N-re |(ca)n| = |can| < Kε /K=ε, és ezzel can szintén a nullához tart.
Ha a nem nulla, akkor a sorozat minden tagjából levonunk a-t, így olyan (an – a) sorozatot kapunk, amelynek határértéke nulla. A speciális eset szerint, ha c-vel szorozzuk, akkor is tart a nullához, ezért c(an – a) = (can – ca) határértéke nulla, tehát a can sorozat ca-hoz tart.Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel pp. 204, 210;
Hasonlók tudhatók két sorozat összeadásáról és kivonásáról is. Itt mindkét sorozatban elmegyünk addig, amíg ε / 2 -nél közelebb kerülünk a határértékhez. Megnézzük, melyikben nagyobb a küszöbszám. Ez a küszöb jó lesz az összegsorozathoz és az ε számhoz.
Ezzel a tétellel bizonyítható a számjegy-manipuláció és a törtekkel való bizonyítás helyessége is.