bélyegkép|200px|Szekrény axonometrikus ábrája Az axonometria a térbeli objektumok szemléletes síkbeli ábrázolására szolgáló módszerek egyike.
Vetítési rendszere szerint paralel projekció = párhuzamos vetítősugarakkal (vö.: Ábrázoló geometria). Az axonometrikus kép átmenet az optikai lencsék leképezésével létrehozott élethű vetület és a műszaki tervezésnél alkalmazott merőleges nézetrajzok között. Használata csak akkor indokolt, ha az ábrázolt objektum méretei nem nagyok. Ellenkező esetben a kép valószerűségét zavarja a távolodó párhuzamos vonalak összetartásának hiánya. Egyszerű kivitelezése miatt elsősorban a műszaki gyakorlat, de a reneszánsz előtt készült freskók, táblaképek alkotói és a számítógépes 3D grafikai alkalmazások használják. Elnevezése: Az axonometria a latin axis=tengely és metrum=mérték szavakból ered. Azt fejezi ki, hogy a térbeli koordináta-rendszert vetítjük a képsíkra (rajzlap, monitor), s az objektum egyes pontjainak a koordinátáit a tengelyekkel párhuzamosan felmérjük.
Az axonometria elve
thumb|jobbra|Általános axonometria Minden axonometrikus ábrázoláshoz meg kell adni a képsík koordináta-rendszerében a térbeli derékszögű koordináta-rendszer képét. Éspedig: grafikusan: a tengelyek különböző irányával () és az irányonkénti skálafaktorokkal, (). analitikusan: a koordináta-rendszer origójának és az egységvektorok képének koordinátáival. A képtengelyek iránya 0° ≤ φ <360° forgásszög, A skálafaktor merőleges vetítéskor a tengelynek a képsíkkal bezárt szögétől függ: 0 ≤ q = cos β ≤ 1 (rövidülés), ferde vetítéskor ezenkívül a vetítősugaraknak a képsíkkal bezárt szögétől is. Ekkor lehet q ≥ 1 is. (A rajz méretarányát nem, csupán a rövidülések arányát szokták megadni.)
Bizonyítható, hogy mindig létezik olyan vetítési rendszer, ami a megadott paramétereknek megfelelő vetületet hozza létre (Pohlke tétele).
Axonometriai rendszerek A vetítési rendszer határozza meg a térbeli derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek, a tengelykeresztnek a képét. Az általános helyzetű axonometria esetén mindhárom tengely metszi a képsíkot egy-egy nyompontban= nyomháromszög. A vetítés iránya ilyenkor bármilyen lehet.
Ha a képsíkkal egy vagy két tengely párhuzamos, akkor csak ferdeszögű vetítéssel kaphatunk képies ábrát. A tengelyek skálázása a vetítés irányától valamint a tengelynek a képsíkkal bezárt szögétől függ. Ha két tengely párhuzamos a képsíkkal, akkor a tengelykereszt vetületében e két tengely képe derékszöget zár be, ami megkönnyíti a kép szerkesztését: kavalier perspektíva, katonaperspektíva, kabinetperspektíva. A rendszereket többféle szempont szerint csoportosíthatjuk: A vetítési irány szerint merőlegesen a képsíkra (ortogonális) ferdén a képsíkra (klinogonális) A tengelykereszt képe (a képsík helyzete) szerint a képsík általános helyzetű a képsík párhuzamos az egyik koordinátasíkkal (kavalier perspektíva) a képsík merőleges a tengelyek térátlójára (izogonális rendszer) A tengelyek skálázása szerint minden rövidülés azonos: izometrikus két rövidülés egyező: dimetrikus minden rövidülés különböző: trimetrikus vagy anizometrikus A kép nézetének iránya szerint frontális: elöl- vagy oldalnézet az egyik függőleges síkon madártávlat: az alapsíkon képzett ferde vetület békaperspektíva: az alapsík alól vetített kép
A gyakorlatban használt axonometriák thumb|balra|Konvencionális vetületek thumb|250px|jobbra|Axonometrikus hálózatok A műszaki tervezésben az axonometrikus ábrázolás másodlagos: a tárgy rekonstruálására (gyártás) nem, csupán a vizuális szemléltetésre alkalmas. A sokféle lehetséges rendszer közül csak azokat használják, amelyeknél a képszerkesztés egyszerű és ugyanakkor az ábra szemléletes, képies. Ilyen szempontok alapján terjedtek el a következő konvenciók. A számítógépes tervezést segítő programok (CAD = Computer Aided Design) ezeket és más felvételeket is alkalmaznak. A műszaki rajzolók munkáját korábban segítő hálózatos papírok használatára ilyen környezetben nincs szükség.
Ortogonális vetületek A - Izometrikus axonometria thumb|balra|Izometrikus rendszer thumb|jobbra|Különböző nézetirányú vetületek Egy ortogonális vetületet megadhatunk a három térbeli tengelynek a képsíkkal bezárt szögével vagy a vetületüknek a képsík (u,v) tengelyeivel bezárt szögével és a rövidületeikkel. A konvencionális felvételnél a térbeli OZ tengely képét a képsík v tengelyével párhuzamosan, a két vízszintes tengelyt ettől 120°-120°-kal jobbra-balra elforgatva vesszük fel. A rövidülések egyenlőek: qx=qy=qz=1.
Az alkalmazott vetítési rendszer: képsík merőleges a térbeli rendszer térátlójára, a vetítés merőlegesen történik, a tényleges rövidülések: qxyz= √(2/3) ≈ 0,8165 ≈ cos(35,26°). A tengelykereszt irányítása változtatható. Igen egyszerű szerkeszteni, de nem nagyon képies.
B - Kétméretű (dimetrikus) axonometria thumb|250px|balra|Dimetrikus rendszer thumb|jobbra|Dimetrikus alulnézet Az izogonális-izometrikus rendszernél képiesebb vetületet eredményez az ábrán látható felvétel. A tengelykereszt szabad felvételével bármilyen vetítési rendszert írhatunk elő. Az itt bemutatott konvencióhoz hasonlóan megadható a két vetületi tengelynek a képsík vízszintes tengelyétől való elforgatásával: μ és κ szögekkel. Ebből meghatározható, hogy milyen ortogonális vetítő rendszer hozhatja létre az adott vetületet.
Konkrétan kiszámíthatók: a térbeli tengelyeknek a képsíkkal bezárt szögei (βx,βy,βz) és ezekből a (qx,qy,qz) rövidülések, skálafaktorok. A konvenció a z (magassági) tengely a képsík ordinátájával esik egybe, az y (szélességi) tengely a képsík (u,v) rendszerében a (8,-1) pontba mutat, az x (mélységi) tengely a képsík (u,v) rendszerében a (-8,-7)pontba mutat. A rövidülések: qy = qz = 1, qx = 0,5.
A konvencionális felvételnél kapott értékekből kiszámolható, hogy a három skálafaktor aránya közelítőleg 1:1:½, négyzetösszegük = 2,00175719 ≈ 2, ami csak az ortogonális axonometria tulajdonsága. A tengelyek átirányításával más nézetek hozhatók létre. Pl.: alulnézet = békaperspektíva.
Klinogonális (kavalier) vetületek thumb|250px|jobbra|Kavalier axonometria elve A ferde vetületek közül azokat, amelyeknél az egyik koordinátasík a képsíkkal párhuzamos az egész világon kavalier (Kavallier, cavagliere, cavalière, ...) perspektívának, axonometriának nevezik. A név eredete bizonytalan, egyes források szerint az erődítmények ún. lovagbástyájáról (Kavallierbastei) nevezték el. Az is valószínű, hogy egyik speciális változatával, a katonaperspektívával (military art, l'architecture militaire, arte de frontera) keverik, amit a hadmérnöki gyakorlat előszeretettel használt. Ennél ugyanis a kép ferde felülnézeti vetület, ami a magas, toronyszerű épületről nézett látványt adja vissza. Két alapváltozatot használunk: frontális perspektíva: a képsík párhuzamos az (y,z) homloksíkkal, rálátásos perspektíva: a képsík párhuzamos az (x,y) alapsíkkal. mindkét esetben a képsíkba eső tengelyek vetülete derékszöget zár be. A vetítési rendszert két szög határozza meg: a vetítősugárnak a képsíkkal bezárt szöge: β, a harmadik tengelynek a két merőlegessel bezárt szöge: φ.
bélyegkép|200px|Kavalier axonometria
C - Konvencionális kavalier perspektíva thumb|jobbra|Különböző hajlású vetítősugarak Az y tengely vízszintes, a z tengely függőleges, az x tengely a képsík abszcisszájával φ = 45°-os szöget zár be.
A rövidüléseket a könnyű felmérés érdekében: qy=qz=1 qx=0,5 értékekkel definiáljuk. Ez közel β = 60°-os (pontosabban 63°26′) vetítősugarat jelent.
D - Kabinetperspektíva thumb|jobbra|Különböző irányú vetületek A konvencionális felvételtől csak annyiban tér el, hogy a mélységi méreteket is eredetiben mérjük fel: qx = 1. Elsősorban a bútoriparban használják így és φ = 30-os beállításban is. A vetületi rendszer a katonaperspektíváéval azonos.
E - módosított kavalier perspektíva thumb|jobbra|Egy kényelmes beállítás Ha a konvencionális φ = 45°-os tájolást megtartva a mélységi zsugorítást qx= 1/√2-nek választjuk, akkor az x-tengely egységei a rajzlap négyzethálójának átlójával egyeznek meg. Ez β = 54,75°-os hajlásszögű vetítést jelent, s ezért a kép a konvencionális vetülethez hasonló.
Ez megkönnyíti a méretek körző nélküli felvitelét akár az iskolai kockás füzet lapjain, akár a megfelelő hálózaton. Szabadkézi vázlatok, iskolai szemléltető ábrák készítésénél előnyös.
F - Katonaperspektíva A frontális beállításokkal ellentétben az alapsíkkal párhuzamos a képsík. A tengelykereszt magassági (z) tengelyét a képsík ordinátájának irányában veszik fel, a vízszintes (x,y) tengelyek erre szimmetrikusan, egymással φ = 90°-os szöget bezárva helyezkednek el. A tengelyek skálázása egyezik: qy=qz=qx=1, ami β = 45°-os vetítési hajlásszöget jelent.
Segédeszközök A hagyományos rajzoláshoz lehet kapni olyan vonalzókat, melyek az axonometrikus szerkesztést segítik. A legtöbb 2D CAD rendszer (például az AutoCAD) tartalmaz valamilyen segítséget axonometrikus képek közvetlen rajzolásához. A térbeli modellezőrendszerek elterjedése az axonometria használatát sokszor feleslegessé teszi.
Források Bardon - Lőrincz: Ábrázoló geometriai példatár, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 Gulyás Dénes: A térábrázolás, Képzőművészeti Alap Kiadóvállalata, Budapest, 1941 Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1957 Kólya Dániel: Gyakorlati ábrázoló geometria + Példatár, Műszaki Kiadó, Budapest, 1993 Lőrinc Pál-Dr. Petrich Géza: Ábrázoló geometria. Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria, Franklin-Társulat, Budapest, é.n. Strommer Gyula: Ábrázoló geometria, Budapest, 1951 Strommer Gyula: Ábrázoló geometriai példatár, Budapest, 1952
További információk Műszaki ábrázolás tankönyv
Kategória:Ábrázoló geometria