200px|bélyegkép|Logaritmikus spirál (pitch 10°)200px|bélyegkép|Egy nautilusz házának metszete, a kamrák hozzávetőlegesen a logaritmikus spirált követikbélyegkép|200px|Magyarázó ábrabélyegkép|200px|Alacsony nyomású terület felhőzete Izland felett logaritmikus spirál alakot vesz felbélyegkép|200px|A spirális galaxisok karjai gyakran logaritmikus spirál alakúakbélyegkép|200px|A napraforgó magjai logaritmikus spirál mentén helyezkednek elbélyegkép|200px|jobbra|Közelítő logaritmikus spirál szerkesztése A logaritmikus spirál a spirális síkgörbék egy fajtája, mely gyakran figyelhető meg a természetben. A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd később behatóan tanulmányozta Jakob Bernoulli, aki Spira mirabilisnak, vagyis „csodálatos spirál”nak nevezte.
Definíció és tulajdonságok Polárkoordinátákkal felírva egyenlete:
vagy
innen származik a „logaritmikus” név is. Paraméteres alakban a görbe egyenletrendszere:
ahol a és b valós szám.
Egy tetszőleges pontjába a pólusból húzott sugár és a ponthoz tartozó érintő által bezárt szög állandó:
A b paramétertől függ , hogy milyen gyorsan „tágul” a spirál és hogy melyik irányba csavarodik. Speciális esetben , ha a b = 0, a spirál a sugarú körré fajul. Ha a b paraméter végtelenhez tart, a spirál egyeneshez közelít.
A görbületi sugár:
A a spirál érintője P pontban:
Az r polársugarú P és r1 polársugarú P1 pont közötti ívhossz:
Az OP1P szektorterület:
A logaritmikus spirál evolutája egy, az eredeti görbével kongruens görbe, mely az eredetihez képest szöggel elfordítva:
Csodálatos spirál A logaritmikus spirálnak a Spira mirabilis (latinul csodálatos spirál) nevet Jakob Bernoulli adta, mivel el volt ragadtatva a görbe egyedülálló matematikai tulajdonságaitól: a görbe méretei állandóan nőnek, de alakja változatlan marad bármely további csavarodással. Bernoulli kívánsága az volt, hogy sírkövére kerüljön fel ez a csodálatos görbe, de tévedésből egy arkhimédészi spirált véstek be. A logaritmikus spirál és az arkhimédészi spirál között a fő különbség az, hogy az utóbbinál a görbe minden fordulata közötti távolság állandó, a logaritmikus spirálnál azonban mértani sorozat szerint nő. Valószínűleg ez az oka annak, hogy több növekedéssel összefüggő természetes forma is logaritmikus spirál alakú, mint például a napraforgó magjainak elhelyezkedése a tányéron vagy az ammoniteszek háza, melyek mészkőbe ágyazva gyakori kövületek.
A logaritmikus spirálok önmagukkal hasonlók és önmagukkal kongruensek minden hasonlósági transzformációra. (Nagyításuk-kicsinyítésük ugyanazt eredményezi, mint elforgatásuk a pólus körül.) Nagyításuk tényezővel az eredeti görbét adja. Szintén kongruensek evolutáikkal és evolvenseikkel.
Ha egy tetszőleges P ponttól a pólus felé haladunk a görbe mentén, a pólust csak végtelen sok fordulat után érhetjük el annak ellenére, hogy a pólustól való távolság véges (). Ezt a tulajdonságát Evangelista Torricelli fedezte fel még a differenciálszámítás feltalálása előtt.
Logaritmikus spirál a természetben Több természeti jelenségnél lehet logaritmikus spirálhoz közeli görbéket találni. Néhány példa: A sólyom röppályája, amikor zsákmányát megközelíti. A zsákmányra keringése közben mindig azonos szögben néz, és közben fokozatosan közelít a céljához. Rovar röppályájának alakja, amikor fényforrás felé közelít. Spirálgalaxis karjainak alakja. A mi galaxisunknak a tejútnak, valószínűleg négy spirálkarja van, mindegyik közelítőleg logaritmikus spirál alakú, melynél az érintő szöge . Általában más galaxisoknál ez a szög 10-40° közé esik. A trópusi ciklonok, például hurrikánok karjai. Sok biológiai struktúra, például a pókháló és a puhatestűek házai (az ammoniteszek és a heteromorf ammoniteszek megkövült házai jellemző példák). Ezekben az esetekben a magyarázat a következő: Kiindulás legyen bármely síkbeli szabálytalan F0 alak. Nagyítsuk ezt fel tetszőleges szorzóval F1-re és helyezzük el F1 -et úgy, hogy az F0 oldalát érintse. Most nagyítsuk fel ugyanazzal a szorzóval F1-et és a kapott F2-t helyezzük elé az előzőekhez hasonlóan F1 oldalához érintve. Többször megismételve a fent leírt műveletet, közelítő logaritmikus spirál lesz az eredmény, melynél a spirál szöge az a szög lesz, mellyel a két szomszédos elem hajlik egymáshoz. Ezt a műveletet a szomszédos ábra egy általános négyszög példáján szemlélteti.
Irodalom Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.
Források Spiral mirabilis Története és matematikája
Kategória:Spirálok