thumb|250px|A szög mint félegyenespár thumb|250px|A szög mint a sík része thumb|250px|Forgásszög
A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.
A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.
Definíciók thumb|250px thumb|250px|Pótszögek
Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordináta-rendszerek és a koordináta-rendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak: Ha , egyenesek, amelyek az pontban metszik egymást, akkor az pont az , egyeneseket félegyenesekre osztja. Ekkor ezek a félegyenesek az ponttal együtt szöget alkotnak. Az pont a szög csúcsa, az , egyenesek pontból induló félegyenesei a szög szárai.
A szög, pontosabban a szögtartomány a síknak az a része, melyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Ezek a szögtartomány határa, míg a szögtartomány többi része a szög belseje.
Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.
Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.
Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van: Balra forgatáskor az óramutató járásával ellentétes irányba forog Jobbra forgatáskor az óramutató járásával megegyező irányba forog
Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.
A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.
A szögek felosztása bélyegkép|250px Nullszög: 0°. Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög. Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián. Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú. Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög. Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián. Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek. Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög). Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.
Jelölések thumb|250px|Mellékszögek thumb|250px Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg: A szöget görög kisbetűkkel jelöljük, mint vagy . Az szöget két félegyenes, egyenes vagy él zárja közre. Irányát az irányából a irányába számítjuk. Három ponttal megadott szög esetén mindig a középső pont a szög csúcsa. Jelölése ABC szög, vagy . Ez a szög az és félegyenesek közé zárt szögek közül az, ami -re való matematikailag pozitív irányú forgatásával keletkezik. Az angol nyelvű szakirodalomban szokásos még a illetve jelölés.
A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még »∡« (HTML ∡/∡, TeX \measuredangle, U+2221). Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meredekség jelölésére használható »∠« is.
Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint: »∟«, derékszög alakban felrajzolva »⦝«, szög ívvel és ponttal »⊾«, szög ívvel »⦜«, szög négyzettel , ortogonális
Szögpárok thumb|250px|Váltószögek Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot. Egymást egyenesszöggé egészítik ki. Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög. Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög. Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek: egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)(speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei) Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)
További elnevezések thumb|250px Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög. Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.
A szögek mérése jobbra|bélyegkép thumb|100px|Merőleges szárú szögek a)thumb|100px|Merőleges szárú szögek b) A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:
amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.
A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.
A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése: ′ . Az ívperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése: ″ A θ szög fokban való meghatározásához:
Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben. Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.
Szögmérték Mértékegység 1 teljesszög = Mértékegység jele–Teljesszög1ÍvmértékRadián2πradFokFok (perc, másodperc)360° ( ′ ″ )Geodéziai szögmértékGradián (újfok)400gon (grad)IdőmértékÓra, perc, másodperc24h m s–Tengerészeti vonás32¯–Tüzérzeti vonás6400mil ( A‰ )–Százaléknem lineáris%, ‰
Síkszögek a térben thumb|Lapszög A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők. A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög. Egy sík és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög. Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok. Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel. Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög. Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.
Térszögek Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke
Szögek különböző geometriákban Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.
A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.
Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.
Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.
Szögek számítása Derékszögű háromszög thumb|Derékszögű háromszög az és hegyesszögekkel Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek és , akkor .
Ha ismertek az , és oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek és , akkor teljesül, hogy
Általános háromszög thumb|Háromszög az , és belső szögekkel Ha egy háromszög szögei , és , akkor . Ezért két szög meghatározza a harmadikat.
Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy . Az árkusz szinusz függvénnyel .
Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy . Az árkusz koszinusz függvénnyel .
Ha derékszögű koordináta-rendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok , , ! Ekkor és az pontból kiinduló vektorok, így . Itt skaláris szorzat és a vektorok hossza.
Tetraéder szögei thumb|Szabályos tetraéder, lapjain a szögek -osak; a tetraéderszög ; a lapszög és az élek és lapok közötti szög A tetraéderben előforduló szögek: