A Riemann-sejtés, amelyet először Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is) az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például John Edensor Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket.
A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, s = 1 kivételével. Ha s > 1 valós szám, akkor a konvergens
sor állítja elő – így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2) = π²/6. A fenti sor még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.
A zéta-függvénynek úgynevezett triviális gyökhelyei vannak a negatív páros számokban, azaz az s = −2, −4, −6, ... értékekre ζ(s) = 0. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:
A Riemann-féle ζ-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.
Tehát a nemtriviális gyökök a sejtés szerint az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.
Ekvivalens állítások Számos, elsőre egyszerűnek tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:
1. Minden természetes számra teljesül
ahol az első szám legkisebb közös többszörösét jelöli.
2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel: minden természetes számra, ahol σ(n) az osztóösszegfüggvény, és γ az Euler–Mascheroni-állandó.Robin, G.: Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Robin cikke.
3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a következő, σ(n) osztóösszegfüggvényre vonatkozó felső becsléssel: minden n természetes számra, ahol Hn a harmonikus sorozat n. tagja, vagyis .Lagarias, J.: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534--543. A Riemann-féle zéta-függvény thumb=Thumbnail-of-Riemann Zeta.jpg.png|A Riemann-féle zéta-függvény a komplex síkon, vízszintesen és függőlegesen. A ½ gyököket egy fehér pontsor jelöli.
A Riemann-féle zéta-függvény egy komplex értékű függvény. Definíciója a komplex sík tartományán a következő:
ahol s a komplex argumentum. Ezt a függvényt kiterjesztik a komplex síkra, kivéve az egyet, ahol pólusa van.
Fontos tulajdonsága, hogy kapcsolódik a prímszámokhoz, továbbá összekapcsolja a komplex függvénytant a számelmélettel. Mindezek miatt a Riemann-sejtésnek számos következménye van a számelmélet különböző területein. Leonhard Euler 1748-ban ezzel az összefüggéssel mutatta meg a kapcsolatot:
ahol a végtelen szorzat befutja a prímszámokat. Ez az összefüggés a számelmélet alaptételének és a mértani sor összegképletének közvetlen következménye.
Ezzel a képlettel a Riemann-féle zéta-függvény a teljes komplex síkra kiterjeszthető, kivéve az egyszeres pólust, tehát meromorf függvényt kapunk. ,
ahol a teljes gamma-függvény és az n. Bernoulli-szám, például stb.
Jelentősége thumb|A zéta-függvény értékei a Re(s) = 1/2 kritikus egyenesen Kapcsolat a prímszámokkal Már Riemann is felismerte a zéta-függvény és a prímszámok közötti kapcsolatot. Cikkében analitikus kifejezést keresett a prímszámláló függvényre. A kapcsolathoz a következő képletből indult ki:
Ennek logaritmusát véve:
Végül a
integrállal sikerült Riemann-nak a zéta-függvény logaritmusát analitikusan kifejeznie. Ehhez
ami minden x-nél kisebb prímhatványra összegzi az -t. Például:
Ez egy lépcsős függvény. Így integrálképlete:
A Fourier-analízis mestereként Riemann inverz Mellin-transzformációval a következőre jutott:
ahol c > 1. A továbbiakban a kszí-függvénnyel kezdett el foglalkozni:
Innen már egyszerű volt a második nem triviális kifejezést megkapnia -re:
A továbbiakban ezt behelyettesítette helyére:
Ennek nehézkes kiértékelése ellenére sikerült a következőre jutnia:
ahol az integrállogaritmus. Ezután egy Möbius-inverzióval összekapcsolta a és a függvényeket:
ami egy mélyebb összefüggést ad a prímszámok és a zéta-függvény gyökei között.
Megjegyzés: Numerikus számítás esetén a Riemann-képletben az összegben -t -szel kell helyettesíteni, ahol a komplex integrálexponenciális függvény, mivel kiértékelésekor a logaritmus főágára nem biztos, hogy teljesül , így hamis eredményre jutnánk. Következmények Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a prímszámok számának becslése pontosítható: (Helge von Koch 1901):Helge von Koch: Sur la distribution des nombres premiers, Acta Mathematica, Band 24, 1901, S. 159–182
Sőt, Koch eredménye ekvivalens a Riemann-sejtéssel. Az előbbi összefüggés egy másik alakja:
egy konstans erejéig, és ennek egy szigorú gyengítése (ami nem ekvivalens):
tetszőleges -ra.
Az analitikus számelméletben sok eredmény, sőt a kriptográfiában is fontos gyors prímtesztek is csak a Riemann-sejtést feltéve vannak bizonyítva. Michael Berry fizikus szerint a zéta-függvény komplex gyökeiben kódoltan megjelennek a prímszámok eloszlásának fluktuációi az aszimptotikus logaritmikus eloszlás körül. A pontos eloszlás ismeretében pontosabb kijelentések tehetők arról, hogy egy tartományban mennyi prímszám van.
A sejtés egy különben kaotikusan viselkedő függvény egy szimmetriatulajdonságáról szól. A zéta-függvény kaotikusságát mutatja, hogy minden, az azonosan nullától különböző analitikus függvényt egy 1/4 sugarú körben approximál. Ez a szimmetria maga valószínűleg egy alapvető elméletet rejt, ahogy például a nagy Fermat-tétel is az elliptikus görbék moduláris függvényekkel való paraméterezését, amit a Langlands-program vizsgált.
Története Eredete A sejtést Bernhard Riemann vetette fel, amikor a zéta- és a gammafüggvény szorzatát tanulmányozta. Ez írható az ,
alakban. Erről Riemann kiderítette, hogy invariáns arra, hogy felcseréljük az -t -sel. Más szavakkal, megfelel az
függvényegyenletnek. Az helyettesítéssel nyerte a következőt minden -re:
Ennek a tükrözésnek a tengelye az 1/2 valós részű komplex számok egyenese, ami pontonként fix. Riemann ugyan valós gyökökről írt, de ezzel arra gondolt, hogy az kritikus sávban a
egyenlet csak valós t-kre oldható meg.
Gyökmentes tartomány Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész. A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor
teljesül.
Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:
A következő eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:
minden ε>0-ra.
A legjobb eredmény szerintFord, K. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), pp. 565-633 ha |t| ≥ 3, akkor
Általánosítási kísérlet Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. Brian Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=-re.
Hamis riasztások 1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát. A kiváló matematikus, Johan Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést. 1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát. 1961-ben az odesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában. 2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. Sajnos ebben egy olyan megközelítést használt, amelynek a cáfolatát már 1998-ban bemutatták.Matthew Watkins: proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis De Branges ezen kívül még számos hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és a Riemann-sejtésre. A Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása azonban utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult. 2007-ben tette közzé a Riemann-sejtés cáfolatát Tribikram Pati. Bizonyítását hibásnak mutatta ki például Bernhard Johann Krötz.Jason Dyer: Riemann Hypothesis disproof #296
Általánosításai Az általánosított Riemann-sejtésen rendszerint a következőt értik:Granville: Refinements of Goldbach’s Conjecture
Tetszőleges Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-sor analitikus folytatásának
a kritikus sávban az összes gyökére teljesül, hogy Ennek a Riemann-sejtés egy speciális esete. Andrew Granville belátta, hogy ez az általánosított Riemann-sejtés ekvivalens a Goldbach-sejtéssel.
Kapcsolatai más sejtésekkel Az analitikus számelméletben más sejtések is kapcsolatba hozhatók a Riemann-sejtéssel.
A Merstens-sejtés azt állítja, hogy minden -re. Itt a Möbius-függvény és a Mertens-függvény. A Riemann-sejtésnél szigorúbb sejtést 1985-ben megcáfolták.A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele: Disproof of the Mertens conjecture. In: J. reine angew. Math., Band 357, 1985, S. 138–160, dtc.umn.edu
Arnaud Denjoy valószínűségi értelmezést adott a Riemann-sejtésnek.Denjoy: L’Hypothése de Riemann sur la distribution des zéros de , reliée à la théorie des probabilités. In: Comptes Rendus Acad. Sc., Band 192, 1931, S. 656–658. Edwards: Riemanns Zeta Function, 1974, S. 268. Edwards kommentiert diese Interpretation so: though it is quite absurd when considered carefully, gives a fleeting glimmer of plausibility to the Riemann hypothesis. Legyen egy véletlen sorozat az (1, -1) elemekből egyenlő valószínűséggel. Ekkor minden -ra
ami azt jelenti, hogy a nullától való távolság legfeljebb olyan gyorsan nő, mint . Ha itt a Möbius-függvény, akkor a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy ez az aszimptotikus növekedés az összegre is érvényes.(Littlewood 1912)Littlewood: Quelques conséquences de l’hypothèse que la fonction n’a pas de zéros dans le demi-plan . In: Comptes Rendus, Band 154, 1912, S. 263–266. Edwards, loc. cit. S. 261. Littlewood továbbá azt is belátta, hogy a Riemann-sejtés a következővel is ekvivalens: Minden esetén a tart a nullához, ha x tart a végtelenhez. A Riemann-hipotézis értelmezhető úgy, hogy a Möbius-függvény eloszlása véletlenszerű.
Továbbá következik egy korlát is a prímszámtétel hibájának növekedésére. Koch eredménye azonban ekvivalens a Riemann-hipotézissel.Edwards: Riemann’s Zeta function, Kapitel 5
A következőből következik a Riemann-hipotézis:
A Lindelöf-sejtés a zéta-függvény növekedéséről a kritikus egyenes mentén gyengébb a Riemann-sejtésnél, de nincs bizonyítva.
Riesz Marcell 1916-ban megmutatta az ekvivalenciát a Riesz-függvény aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos sejtéssel. Jerome Franel 1924-ben egy Farey-sorokról tett kijelentéssel kapcsolatban bizonyított ekvivalenciát. Ez azt állítja, hogy a (0,1) intervallum racionális számainak rendezése lineáris formába és a Farey-sorok sorrendje egy jóldefiniált matematikai értelemben annyira eltér, amennyire csak lehet.