A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség lényegében azt mutatja, hogy az Lp terek (Lebesgue-terek) normált vektorterek. Legyen S egy mértéktér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, valamint legyenek f és g az Lp(S) elemei. Ekkor f + g is Lp(S)-ben van, és teljesül a következő egyenlőtlenség:
1 < p < ∞ esetén egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f és g lineárisan függők úgy, hogy egy nemnegatív konstansban térnek el egymástól (azaz ha létezik olyan λ ≥ 0 szám, hogy f = λg vagy g = λf).
A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az Lp(S) térben.
Ha a p-normában a számlálómérték szerint integrálunk, akkor a Hölder-egyenlőtlenséghez hasonlóan a Minkowski-egyenlőtlenségből is sorozatokra, avagy vektorokokra vonatkozó állítást kapunk:
ahol x1, ..., xn, y1, ..., yn tetszőleges valós vagy komplex számok.
Bizonyítás Először bebizonyítjuk, hogy ha f-nek és g-nek is véges a p-normája, akkor f+g-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből: . Ez az egyenlőtlenség igazolható például annak felhasználásával, hogy a függvény a nemnegatív számok halmazán konvex (feltéve, hogy p > 1). A konvexitás definíciójából, majd alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:
Ez azt jelenti, hogy
Most már jogosan beszélhetünk az normáról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy . Felhasználva a Hölder-egyenlőtlenséget, rendre írhatjuk az alábbiakat:
Most már megkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt a nemnulla törttel.
További információk
H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953) M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers,
Kategória:Topológia Kategória:Egyenlőtlenségek