A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:
A változat A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
B változat A siker előtti sikertelen kísérletek számának az eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
A két változat összefüggése .
A geometriai eloszlás felhasználható: egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása
Meghatározás Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége .
Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha
A változat annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan kísérletre van szükség,
B változat annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan sikertelen kísérlet legyen
A geometriai eloszlást jellemző számok
Várható értéke:
A változat:
B változat: .
Szórása:
Mindkét változat szórása: .
Ferdesége:
.
Lapultsága:
.
Tulajdonságok A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.
A változat:
B változat:
A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja. Az független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege
amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású. A geometriai eloszlások karakterisztikus függvényei:
A változat: . B változat: .
A geometriai eloszlások generátorfüggvényei:
A változat:
B változat: .
Kapcsolat más eloszlásokkal Negatív binomiális eloszlás A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás. Exponenciális eloszlás Legyenek az geometrikus valószínűségi változók paraméterei , és legyen egy pozitív λ konstansra. Ekkor a sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.
A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.
Levezetések A várható érték levezetése A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható: .
ahol , mivel az eloszlásfüggvény .
Az várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint . Ezzel :, tehát . n kísérletből várhatóan lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő , vagyis . A szórás levezetése A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.
|.
Források A geometriai eloszlás a MathWorldön A geometriai eloszlás a PlanetMathen Geometriai eloszlás kalkulátor
Kategória:Valószínűség-eloszlások