In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio , definito su un campo , è la più piccola estensione di che contiene tutte le radici di .
Definizione Sia un campo e un polinomio a coefficienti in . Se è costante, un suo campo di spezzamento è . Sia ora non costante di grado . Un'estensione di è un campo di spezzamento di se: esistono (non necessariamente distinti) ed tali che ; l'estensione generata da su è uguale ad . La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se è un'estensione intermedia tra ed (ossia se ), allora esiste tale che ; in questo senso, è la più piccola estensione di contenente tutte le radici (non necessariamente distinte) di .
Costruzione Se è un polinomio a coefficienti in , è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di su , applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.
Supponiamo infatti che si fattorizzi in come . Allora, l'anello quoziente è un campo (poiché è un ideale massimale) che contiene e una radice di . La fattorizzazione di in comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di ).
Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori ) e termina dal momento che il grado di è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di su .
Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di .
Unicità Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.
Se è un campo algebricamente chiuso contenente (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di contenuto in . Gli automorfismi di questo campo di spezzamento formano un gruppo che, se è separabile su , è detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di può essere costruito.
I sottocampi di che sono campi di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di .
Se è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo , dove è una qualsiasi radice di .
Esempi Sia il campo dei numeri razionali e . Il campo di spezzamento di contenuto nel campo dei numeri complessi (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su ) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità. Il campo di spezzamento di sul campo dei numeri reali è tutto . Il campo di spezzamento di sul campo delle classi di resto modulo (dove è un numero primo) è un campo finito di ordine . In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità .
Bibliografia
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria dei campi