Carriera Kansas City Chiefs Dopo avere giocato al college a football a Minnesota, Murray fu scelto nel corso del quarto giro (106º assoluto) nel Draft NFL 2016 dai Kansas City Chiefs. Debuttò come professionista subentrando nella gara del primo turno contro i San Diego Chargers mettendo a segno un tackle.
Cleveland Browns Murray fu ceduto ai Cleveland Browns il 1º aprile 2019 in cambio di Emmanuel Ogbah.
Houston Texans Il 1º aprile 2020 Murray firmò un contratto triennale del valore di 20,25 milioni di dollari con gli Houston Texans.
Nella settimana 14 contro i Chicago Bears Murray guidò la squadra con 11 tackle e due sack su Mitchell Trubisky nella sconfitta per 36-7. Il 7 dicembre 2020 fu inserito nella lista dei positivi al COVID-19, e tornó attivo il 13 gennaio 2021.
Il 16 marzo 2022 Murray firmò un nuovo contratto biennale del valore di 10 milioni di dollari con i Texans.
Il 18 ottobre 2023 Murray fu inserito in lista infortunati.
Il 12 marzo 2024 Murray firmò un nuovo contratto di un anno con Houston. Nel primo turno di playoff mise a segno un intercetto su Justin Herbert ritornando il pallone in touchdown nella vittoria sui Los Angeles Chargers.
Jacksonville Jaguars Il 12 marzo 2025 Murray firmò con i Jacksonville Jaguars un contratto triennale del valore di 19,5 milioni di dollari.
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