In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. Shiryaev, Albert N. (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0. Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.
Il lemma Se è una successione infinita di numeri reali tale che
esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente e si ha che
Dimostrazione Siano le somma parziali della successione . Usando la sommazione per parti,
Preso un , si sceglie in modo che per ogni , sempre possibile poiché la successione converge a . Allora il membro destro è:
Ora, facendo tendere all'infinito, il primo termine tende a , che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da . Quindi riassumendo, per ogni si può trovare un tale che
per ogni , e allora per definizione di limite di una successione si ha che
Note
Voci correlate Legge dei grandi numeri Teorema delle tre serie di Kolmogorov Sommazione per parti
Categoria:Serie matematiche Categoria:Lemmi Categoria:Teoria della probabilità