In teoria dei numeri, la teoria dei numeri geometrica studia corpi convessi e vettori interi nello spazio -dimensionaleMSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.. La teoria dei numeri geometrica fu introdotta da Hermann Minkowski nel 1896.
La disciplina è strettamente connessa con altri campi della matematica, specialmente con l'analisi funzionale e l'approssimazione diofantea.Libri di Schmidt. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász.
I risultati di Minkowski Supponiamo che sia un reticolo nello spazio euclideo -dimensionale e che sia un corpo convesso centralmente simmetrico.
Il teorema di Minkowski, conosciuto anche come il primo teorema di Minkowski, illustra che se , allora contiene un vettore non negativo in
Il minimo successivo è definito come l'estremo inferiore dei numeri tali che contenga vettori linearmente indipendenti di
Il teorema di Minkowski sui minimi successivi, a volte chiamato il secondo teorema di Minkowski, è un rafforzamento del primo teorema e stabilisce cheCassels (1971) pag. 203
Ricerche successive Negli anni 1930-1960 furono condotte svariate ricerche da molteplici matematici (che includono Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Recentemente, i matematici Lenstra, Brion, e Barvinok hanno sviluppato teorie in combinatoria che enumerano i punti del reticolo in corpi complessi.Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, e Beck e Robins.
Teorema dei sottospazi di Schmidt In teoria dei numeri geometrica, il teorema dei sottospazi fu descritto da Wolfgang M. Schmidt nel 1972.Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pag. 526-551. Si vedano anche i libri di Schmidt; Bombieri e Vaaler e anche Bombieri e Gubler. Dimostra che se è un numero intero positivo, e sono polinomi omogenei indipendenti in variabili con coefficienti algebrici e se è un qualsiasi numero reale, allora i punti interi non negativi in coordinate con
giacciono su un numero finito di sottospazi vettoriali
Influenza in analisi funzionale Le scoperte di Minkowski ebbero una profonda influenza in analisi funzionale. Minkowski dimostrò che corpi convessi simmetrici inducono norme in spazi vettoriali di dimensione finita. Il teorema di Minkowski fu generalizzato negli spazi topologici vettoriali da Kolmogorov.Per il teorema di norambilità di Kolmogorov, si veda Functional Analysis di Walter Rudin. Per ulteriori approfondimenti, si veda Schneider, e Thompson e Kalton et al.
Ricercatori continuano a studiare generalizzazioni in insiemi stellati ed altri insiemi convessi.Kalton et al. Gardner
Note
Bibliografia Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions). John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998. R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006. P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007. P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993. M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988 (Republished in 1964 by Dover.) Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence . Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231.
Categoria:Teoria dei numeri