Il concetto di probabilità, utilizzato a partire dal XVII secolo, è diventato con il passare del tempo la base di diverse discipline scientifiche rimanendo tuttavia non univoco. In particolare su di esso si basa una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.

Storia

I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galilei (pubblicato nel 1656). In particolare, Galileo spiegò come mai, lanciando tre dadi, la probabilità di uscita delle somme 10 e 11 sia più probabile dell'uscita del 9 e del 12, nonostante entrambi i risultati si ottengano da un uguale numero di combinazioni.Il 9 si ottiene con le sei combinazioni , il 10 con le sei combinazioni , l'11 con e il 12 con . Tuttavia, mentre una combinazione di tre numeri uguali può presentarsi in un solo modo, una con due numeri uguali può presentarsi in tre modi diversi, una con tre numeri diversi in sei modi diversi. Si può quindi ottenere il 10 e l'11 in 27 modi , il 9 e il 12 in 25 modi . Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto venne affrontato da Pacioli nella Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicata nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat.

La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a Pascal e Fermat. Il Cavalier de Méré (un accanito giocatore) aveva calcolato che ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un dado non truccato era equivalente ad ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci, sempre di un dado non truccato. Tuttavia, giocando secondo tale convinzione, invece di vincere perdeva e scrisse a Pascal lamentando che la matematica falliva di fronte all'evidenza empirica.Secondo il Cavaliere, essendo la probabilità del 6 con un dado, in quattro lanci la probabilità sarebbe ; la probabilità del doppio 6 in due lanci è invece e, per arrivare a , occorrono 24 lanci: . In realtà la probabilità di ottenere almeno un 6 si calcola meglio a partire dall'evento complementare, "nessun 6 in quattro lanci", che è , e sottraendo questa da , ottenendo il ; nello stesso modo si calcola che la probabilità di almeno un doppio 6 in 24 lanci è . Da ciò scaturì una corrispondenza tra Pascal e Fermat in cui iniziò a delinearsi il concetto di probabilità nell'accezione frequentista.

Pascal annunciò nel 1654 all'Accademia di Parigi che stava lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propose la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni. Nel 1657 Huygens scrisse un Libellus de ratiociniis in ludo aleæ,La ristampa della traduzione inglese è disponibile in http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf ., il primo trattato sul calcolo delle probabilità, nel quale introduceva il concetto di valore atteso. I suoi lavori influenzarono tra l'altro Montmort, che scrisse nel 1708 un Essai d'analyse sur le jeux de hasard, ma anche Jakob Bernoulli e de Moivre.

Nel 1713 viene pubblicato postumo Ars conjectandi di Jakob Bernoulli, dove veniva dimostrato il teorema che porta il suo nome, noto anche come legge dei grandi numeri. Successivamente, de Moivre pervenne a una prima formulazione, poi generalizzata da Laplace, del teorema centrale del limite. La teoria delle probabilità raggiunse così basi matematicamente solide e, con esse, il rango di nuova disciplina. In essa esercita un ruolo centrale il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili e la probabilità è un numero intrinsecamente legato ad un evento. Negli anni centrali del XX secolo, tuttavia, prima de Finetti e poi Savage hanno elaborato una concezione soggettiva della probabilità, secondo cui essa è il grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell'evento.

Nello stesso periodo, Kolmogorov ha dato inizio alla moderna teoria assiomatica (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933), ispirandosi alla teoria della misura. Si è così affermata una teoria della probabilità puramente matematica, che generalizza il patrimonio matematico comune alle diverse impostazioni.

Definizioni In probabilità si considera un fenomeno osservabile esclusivamente dal punto di vista della possibilità o meno del suo verificarsi, prescindendo dalla sua natura. Tra due estremi, detti evento certo (ad esempio: lanciando un dado a sei facce si ottiene un numero compreso tra 1 e 6) ed evento impossibile (ottenere 1 come somma dal lancio di due dadi), si collocano eventi più o meno probabili (aleatori).

Si usa il linguaggio della teoria degli insiemi: un insieme non vuoto (detto spazio delle alternative) ha come elementi tutti i risultati possibili di un esperimento; l'evento che risulta verificato da un unico risultato (un unico elemento di ) viene detto evento elementare; altri eventi sono sottoinsiemi di costituiti da più risultati.Ad esempio, nel lancio di un dado l'insieme è costituito dai sei risultati ; l'evento "esce il 3" è rappresentato dall'insieme , l'evento "esce un numero pari" è rappresentato dall'insieme .

Gli eventi vengono normalmente indicati con lettere maiuscole. Dati due eventi e , si indica con la loro unione, ovvero l'evento costituito dal verificarsi dell'evento oppure dell'evento . Si indica con la loro intersezione, ovvero l'evento costituito dal verificarsi sia dell'evento che dell'evento .Ad esempio, restando al lancio di un dado, se e , l'evento è , ovvero "esce un numero pari". Se invece "esce un numero pari" e "esce un numero minore o uguale a 3", . Se i due eventi e vengono detti incompatibili (non possono verificarsi simultaneamente). Il complemento di un evento rispetto a , , è detto negazione di e indica il suo non verificarsi (ovvero il verificarsi dell'evento complementare).

Definizione classica Secondo la prima definizione di probabilità, per questo detta «classica», la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

Indicando con l'insieme di casi possibili e con la sua cardinalità, con un evento e con la sua cardinalità, ovvero il numero dei casi favorevoli ad (ad esempio, nel lancio di un dado , , "esce un numero pari", ), la probabilità di , indicata con , è pari a:

Dalla definizione seguono tre regole: la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra e ; la probabilità dell'evento certo è pari a , la probabilità dell'evento impossibile è pari a : ad es. se "esce un numero compreso tra 1 e 6", e , se invece "esce un numero maggiore di 6", e . la probabilità del verificarsi di uno di due eventi incompatibili, ossia di due eventi che non possono verificarsi simultaneamente, è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi; ad esempio se "esce un numero pari", con , e "esce il numero 3", con , la probabilità che tirando un dado si ottenga un numero pari oppure un 3 è: .

Frequenza dell'evento Come elemento propedeutico alla successiva definizione frequentista Introduciamo, appunto, il concetto di frequenza. Nell'esempio del lancio del dado con evento "numero pari", indichiamo come successi () il numero di volte che otteniamo un numero pari ed () il totale dei lanci effettuati, la frequenza è uguale a . Il rapporto indica la frequenza dell'evento favorevole "uscita numero pari". Inoltre per la legge dei grandi numeri con un numero elevatissimo di lanci il valore di tende a quello di che è interpretata, dalla definizione frequentista della probabilità descritta di seguito, come limite a cui tende .

Definizione frequentista La definizione classica consente di calcolare effettivamente la probabilità in molte situazioni. Inoltre, è una definizione operativa e fornisce quindi un metodo per il calcolo. Presenta tuttavia diversi aspetti negativi non irrilevanti:

dal punto di vista formale, è una definizione circolare: richiede che i casi possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò che si vuole definire; non definisce la probabilità in caso di eventi non equiprobabili; presuppone un numero finito di risultati possibili e di conseguenza non è utilizzabile nel continuo.

Per superare tali difficoltà, von Mises propose di definire la probabilità di un evento come il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti:

La definizione frequentista si applica ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili, ma assume che l'esperimento sia ripetibile più volte, idealmente infinite, sotto le stesse condizioni.

Anche tale definizione consente di calcolare la probabilità di molti eventi e da essa si ricavano le stesse tre regole che seguono dalla definizione classica. È sufficiente, infatti, sostituire il rapporto tra numero dei casi favorevoli e numero dei casi possibili con il limite del rapporto per tendente all'infinito.

Tuttavia: il "limite" delle frequenze relative non è paragonabile all'analogo concetto matematico; ad esempio, data una successione , si dice che è il suo limite se per ogni esiste un numero naturale tale che per ogni , e, comunque dato , è sempre possibile calcolare ; nella definizione frequentista, invece, non è sempre calcolabile; non tutti gli esperimenti sono ripetibili; ad esempio, ha sicuramente senso chiedersi quale sia la probabilità che vi sia vita su Marte o che tra 50 anni il tasso di natalità in Africa diventi la metà di quello attuale, ma in casi simili non è possibile immaginare esperimenti ripetibili all'infinito.

Definizione soggettiva De Finetti e SavageL'impostazione soggettiva era stata anticipata da Ramsey nel 1926. hanno proposto una definizione di probabilità applicabile ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica.

Al fine di rendere concretamente applicabile la definizione, si aggiunge un criterio di coerenza: le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa.

In tal modo è possibile ricavare dalla definizione soggettiva le stesse tre regole già viste. : infatti se fosse si avrebbe un guadagno certo, viceversa se fosse si avrebbe una perdita certa; : se l'evento è certo, si riceverà sicuramente 1, ma se fosse si avrebbe un guadagno certo, pari a , se invece fosse si avrebbe una perdita certa; se . Si osserva preliminarmente che se n eventi sono incompatibili (non possono presentarsi insieme) e necessari (uno di loro deve necessariamente verificarsi), allora si ha : infatti si paga per ciascun evento , quindi se la somma fosse inferiore a 1 si avrebbe un guadagno certo, se fosse superiore si avrebbe una perdita certa. Si considerano poi gli eventi incompatibili e e l'evento complemento della loro unione; i tre eventi sono incompatibili e necessari e si ha:Sono però incompatibili anche l'unione di e ed il suo complemento:Dalle due uguaglianze segue:se , allora La definizione soggettiva consente quindi di calcolare la probabilità di eventi anche quando gli eventi elementari non sono equiprobabili e quando l'esperimento non può essere ripetuto. Rimane fondata, tuttavia, sull'opinione di singoli individui, che potrebbero presentare diverse propensioni al rischio. Basta pensare che molti sarebbero disposti a giocare 1 euro per vincerne 1000, ma pochi giocherebbero un milione di euro per vincerne un miliardo.

Definizione assiomatica