Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.
Logiche ad infiniti valori di verità Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali: la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz; la logica fuzzy di Lotfi Zadeh; la logica polivalente di Gödel;Tim Lethen, "Gödel on many-valued logic" Cambridge University Press, 2021 la logica L-fuzzy di Joseph Goguen;Joseph Goguen "L-fuzzy sets" Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 18, Issue 1, April 1967, pp 145-174
Logica polivalente di Gödel In tale formulazione si hanno le seguenti::
se e altrimenti.
Logica polivalente prodotto In tale formulazione si hanno le seguenti::
se e altrimenti. Logiche polivalenti e doppia negazione È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno: P → ¬¬P è un teorema ¬¬P → P non è teorema. ¬P → ¬¬¬P è un teorema. ¬¬¬P → ¬P è un teorema.
Logiche generiche. T-norma
Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti: Commutatività: T(a, b) = T(b, a); Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d; Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c); Elemento nullo: T(a, 0) = 0; 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.
Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.
Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).
Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.
Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).
Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x. Note
Voci correlate Logica fuzzy Principio del terzo escluso Principio di bivalenza
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