Il teorema di Borsuk è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia algebrica. Ha come conseguenza importante il teorema di Borsuk-Ulam.
Enunciato Il teorema di Borsuk asserisce il fatto seguente. Non esistono applicazioni continue dalla sfera in sé tali che per ogni punto della sfera.
Dimostrazione
Sia un'applicazione continua, vogliamo dimostrare che esiste x0 ∈ S2 tale che diverso da - .
Consideriamo il rivestimento universale ; per un corollario relativo al teorema del sollevamento dell'omotopia esiste un'applicazione continua che solleva , ossia tale che .
Per un lemma della teoria topologica esiste un punto x0 appartenente a S2 tale che e di conseguenza: ; in particolare , c.v.d.
Applicazioni
Il Teorema di Borsuk-Ulam è una applicazione importante del teorema. Asserisce che per ogni applicazione continua : S2 → R2 esiste un punto appartenente a S2 tale che = .
Voci correlate
Karol Borsuk
Borsuk Categoria:Topologia algebrica