In matematica, un poliedro sferico o tassellatura sferica è una tassellatura della sfera in cui la superficie è divisa o partizionata da archi di un cerchio massimo in regioni chiuse chiamate poligoni sferici.
Tra questi poliedri figurano casi di poliedri impropri, come gli osoedri e i loro duali, i diedri, i quali esistono come poliedri sferici ma risultano essere casi degeneri se si considerano i loro equivalenti a facce piane.
Storia Il primo studio significativo sui poliedri sferici è quello scritto nel X secolo dal matematico e astronomo persiano Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani.
L'utilizzo dei poliedri sferici fu di grande aiuto all'elaborazione della geometria dei poliedri simmetrici e di quelli uniformi e al loro studio. Così, ad esempio, circa duecento anni fa, all'inizio del XIX secolo, Poinsot utilizzò i poliedri sferici per arrivare alla scoperta dei quattro poliedri stellati regolari, detti anche poliedri di Keplero-Poinsot. A metà del XX secolo, invece, Harold Coxeter utilizzò tali poliedri per poter enumerare tutti tranne uno i poliedri uniformi esistenti, attraverso la costruzione di Wythoff (l'unico poliedro che rimase fuori fu il grande dirombicosidodecaedro).
La formula di Eulero vale anche per i poliedri sferici, ossia anche nel loro caso, indicando con , e rispettivamente i numeri di facce, spigoli e vertici del poliedro, si ha che: oppure .
Esempi Tutti i poliedri regolari e semiregolari, e i loro duali, possono essere proiettati su una sfera come tassellature: Simbolo diSchläfli{p,q}t{p,q}r{p,q}t{q,p}{q,p}rr{p,q}tr{p,q}sr{p,q}Incidenzaverticipqq.2p.2pp.q.p.qp.2q.2qqpq.4.p.44.2q.2p3.3.q.3.pSimmetriatetraedrica(3 3 2)333.6.63.3.3.33.6.6333.4.3.44.6.63.3.3.3.3V3.6.6V3.3.3.3V3.6.6V3.4.3.4V4.6.6V3.3.3.3.3Simmetriaottaedrica(4 3 2)433.8.83.4.3.44.6.6343.4.4.44.6.83.3.3.3.4V3.8.8V3.4.3.4V4.6.6V3.4.4.4V4.6.8V3.3.3.3.4Simmetriaicosaedrica(5 3 2)533.10.103.5.3.55.6.6353.4.5.44.6.103.3.3.3.5V3.10.10V3.5.3.5V5.6.6V3.4.5.4V4.6.10V3.3.3.3.5Esempiodiedrico p=6(2 2 6)622.12.122.6.2.66.4.4262.4.6.44.4.123.3.3.6
n234567810...n-Prisma(2 2 p)...n-Bipiramide(2 2 p)...n-Antiprisma...n-Trapezoedro...
Casi impropri Come detto, la tassellatura sferica permette di ottenere poliedri sferici non ottenibili in geometria euclidea se non come casi degeneri, ossia gli osoedri, aventi simbolo di Schläfli {2,n}, e i diedri, aventi simbolo di Schläfli {n,2}. Nelle due tabelle seguenti sono riportati alcuni osoedri e diedri regolari.
Relazione con le tassellature del piano proiettivo I poliedri sferici che hanno almeno una simmetria inversiva sono connessi ai poliedri proiettivi (ossia tassellature del piano proiettivo reale) - proprio come la sfera è un rivestimento universale dello spazio proiettivo (esiste infatti il rivestimento con due fogli dalla sfera unitaria allo spazio proiettivo reale) i poliedri proiettivi corrispondono tramite una mappa a 2 fogli a poliedri sferici che sono centralmente simmetrici. Inoltre, poiché un rivestimento è un omeomorfismo locale (in questo caso un'isometria locale), sia i poliedri sferici che i poliedri proiettivi corrispondenti hanno la stessa figura al vertice astratta.
Ad esempio, il rivestimento a due fogli di un emi-cubo (proiettivo) è il cubo sferico. L'emi-cubo ha 4 certici, 3 facce e 6 spigoli, ognuno dei quali è rivestito da due copie nella sfera, e di conseguenza il cubo ha 8 vertici, 6 facce e 12 spigoli, mentre entrambi questi poliedri hanno figura al vertice 4.4.4 (tre quadrati che si incontrano a un vertice).
Gli esempi meglio conosciuti di poliedri proiettivi sono i poliedri proiettivi regolari, i quozienti dei solidi platonici centralmente simmetrici, così come due classi infinite di diedri e osoedri:
Emi-cubo, {4,3}/2 Emi-ottaedro, {3,4}/2 Emi-dodecaedro, {5,3}/2 Emi-icosaedro, {3,5}/2 Emi-diedro, {2p,2}/2, p>=1 Emi-osoedro, {2,2p}/2, p>=1
Note
Voci correlate Geometria sferica Trigonometria sferica
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