Lanalisi dimensionale è la scomposizione in grandezze fondamentali delle grandezze fisiche nell'ambito delle formule che ne stabiliscono le relazioni.

È uno strumento applicato frequentemente in fisica, metrologia, chimica e ingegneria per comprendere le situazioni fisiche che coinvolgono grandezze di diversa natura e per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. È anche utilizzata per formare ragionevoli ipotesi su situazioni fisiche complesse che possono essere verificate da esperimenti o nuove teorie. Nell'analisi dimensionale si usa racchiudere le varie grandezze tra parentesi quadre, ad esempio .

Grandezze fondamentali Grandezza Simbolo di Maxwell della sua dimensioneJ.C. Maxwell, On the Mathematical Classification of Physical Quantities, Proc. London Math. Soc., Vol III, no. 34, p. 224. Mar. 1871. Unità del SI Simbolo dell'unità SI Lunghezza L metro m Massa M chilogrammo kg Tempo T secondo s Intensità di corrente I ampere A Temperatura assoluta Θ kelvin K Quantità di sostanza N mole mol Intensità luminosa J candela cd

Già James Clerk Maxwell, in un articolo pubblicato nel 1871, impiegó simboli come ,,, , per indicare rispettivamente le grandezze fisiche forza, massa, lunghezza, tempo e temperatura. Formò poi dei prodotti di potenze di questi simboli, che chiamò "dimensioni".Langhaar, Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley & Sons, 1951 Il primo vantaggio è che a ogni "dimensione fisica" si può associare una sola unità di misura. Il Sistema internazionale di unità di misura ha fissato le seguenti dimensioni, o grandezze, fisiche fondamentali: tempo, lunghezza, massa, intensità di corrente, temperatura assoluta, quantità di sostanza e intensità luminosa. Tutte le altre grandezze sono riconducibili a quelle fondamentali: per ognuna esiste un'equazione dimensionale che esprime la relativa grandezza come prodotto delle potenze delle grandezze fondamentali. Per esempio, la dimensione della grandezza velocità è distanza/tempo, o e la dimensione di una forza è massa × distanza/tempo², o .

L'analisi dimensionale è uno strumento importante che può essere utilizzato come controllo di coerenza nella derivazione o nella verifica dell'espressione finale, utilizzando il fatto che le dimensioni possono essere trattate come grandezze algebriche, cioè possono essere sommate o sottratte fra loro solamente se hanno le stesse dimensioni. Inoltre, i termini di ciascun membro di un'equazione debbono avere le stesse dimensioni. Seguendo queste semplici regole, si può adoperare l'analisi dimensionale come valido ausilio per giudicare a priori la correttezza della forma di un'espressione, poiché la condizione necessaria (ma assolutamente non sufficiente) per la correttezza della relazione di uguaglianza è che le dimensioni delle grandezze fisiche in ambo i membri dell'equazione siano le stesse.

I concetti di dimensionalità di una grandezza fisica e di unità di misura sono correlati. Le unità di una grandezza fisica sono definite per convenzione in relazione a qualche standard; per esempio una lunghezza può avere come unità metri, piedi, pollici, miglia o micron; ma qualsiasi lunghezza ha come dimensione , indipendentemente da quali unità sono scelte per misurarla. La misura di una grandezza fisica può essere espressa in diverse unità di misura, passando dall'una all'altra attraverso fattori di conversione. Per esempio: 1 in = 2,54 cm, quindi (2,54 cm/in) è il fattore di conversione (tra due rappresentazioni, espresse con differenti unità), della grandezza fisica lunghezza ed è esso stesso adimensionale, o con dimensione pari a .

I simboli dimensionali, come , formano un gruppo: c'è un'identità, ; c'è l'inverso di , che è oppure , e elevato a qualsiasi esponente razionale è un membro del gruppo, che ha come inverso oppure elevato allo stesso esponente . L'operazione del gruppo è la moltiplicazione, con le normali regole per trattare gli esponenti.

In meccanica, la dimensione di qualsiasi grandezza fisica può essere espressa in termini delle dimensioni fondamentali e . Questa non è l'unica scelta possibile, ma quella più comunemente usata. Si potrebbe, ad esempio, scegliere come dimensioni fondamentali forza, lunghezza e massa, con le dimensioni associate . La scelta delle dimensioni fondamentali è così, almeno in parte, una convenzione, e risulta essere quella più utile e familiare fra quelle che consentono di esprimere tutte le grandezze di interesse.

Il sistema internazionale (SI) delle unità di misura, con le scelte delle dimensioni corrispondenti, è quello maggiormente utilizzato e ha rimpiazzato la moltitudine di scelte presenti in quello esteso (sistema CGS).

Al di fuori della meccanica può essere vantaggioso scegliere un insieme esteso di simboli dimensionali piuttosto che un altro, a seconda del campo di interesse. In elettromagnetismo, ad esempio, può essere utile usare le dimensioni e , dove rappresenta la quantità di carica elettrica. In termodinamica l'insieme base di dimensioni è spesso esteso a comprendere una dimensione per la temperatura. In chimica il numero di molecole è spesso coinvolto e una dimensione per esso è altresì utile.

Nella sua forma più primitiva, l'analisi dimensionale può essere usata per controllare la plausibilità delle equazioni fisiche: le due parti di ogni equazione devono essere commensurabili, cioè avere le stesse dimensioni; in altre parole, l'equazione deve essere dimensionalmente omogenea. Come corollario di questo requisito segue che, in una espressione fisicamente significativa, solo quantità della stessa dimensione possono essere sommate o sottratte. Ad esempio, la massa di un topo e la massa di una pulce possono essere sommate, ma la massa di una pulce e la lunghezza di un topo non possono essere sommate significativamente. Quantità fisiche che hanno dimensioni differenti non possono essere comparate tra di loro, o usate in disuguaglianze: non è un'espressione corretta, né significativa.

Quando quantità che sono parimenti dimensionate o meno vengono moltiplicate o divise, i loro simboli dimensionali vengono similarmente moltiplicati o divisi. Quando quantità dimensionali vengono elevate a una potenza razionale, lo stesso accade ai simboli collegati a tali quantità.

Gli argomenti delle funzioni esponenziale, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali e scalari. Il logaritmo di è indefinito, ma il logaritmo di è circa . Questo deriva essenzialmente dal requisito che i termini della serie di Taylor devono essere omogenei dimensionalmente. Argomenti tensorialiHart, 1995 sono più raramente usati.

Il valore di una quantità fisica dimensionale si scrive come il prodotto di una unità dimensionale e di un fattore adimensionale. Se si usano unità di misura diverse nella stessa espressione è necessario un fattore di conversione, il quale è un rapporto di quantità egualmente dimensionate ed è uguale a una unità adimensionale:

è come dire

Il fattore è identico all'uno adimensionale, quindi moltiplicare per questo fattore di conversione non cambia niente (nell'unità di misura). Inoltre quando si sommano due quantità di simile dimensione, ma espresse in diverse unità, il fattore di conversione appropriato, che è l'uno adimensionale, viene usato per convertire le quantità in unità identiche, in modo che il loro valore numerico possa essere sommato o sottratto.

Solo in questa maniera è significativo dire che si sommano quantità similmente dimensionate di unità diverse.

L'analisi dimensionale viene anche utilizzata per derivare relazioni tra le quantità fisiche che sono coinvolte in un particolare fenomeno che si desidera capire e caratterizzare. Fu utilizzata per la prima volta in questa maniera nel 1872 da Lord Rayleigh, che stava cercando di capire perché il cielo è blu.

Un semplice esempio Qual è il periodo di oscillazione di una massa attaccata a una molla ideale con costante elastica sospesa in un campo gravitazionale di intensità ? Le quattro quantità hanno le seguenti dimensioni: ; ; ; .

Da queste possiamo formare un solo prodotto adimensionale di forze: = , poiché solo coinvolge la lunghezza . L'analisi dimensionale può portare a forti dichiarazioni sulla irrilevanza di alcune quantità in un problema, o la necessità di altri parametri. Se abbiamo scelto abbastanza variabili per descrivere il problema in modo appropriato, allora in questo problema possiamo concludere che il periodo di oscillazione della massa sulla molla è indipendente da : è lo stesso sia sulla Terra sia sulla Luna. L'equazione che dimostra l'esistenza di un prodotto di forze per il nostro problema può essere riscritta in una maniera interamente equivalente: , dove è una costante adimensionale non determinabile per mezzo della sola analisi dimensionale. Con altri mezzi si ottiene che .

Quando ci si trova di fronte a un caso dove l'analisi dimensionale esclude una variabile (in questo caso ) che siamo davvero sicuri che appartenga a una descrizione fisica della situazione, potremmo anche considerare la possibilità che la variabile esclusa sia effettivamente rilevante e che qualche altra variabile sia stata omessa, variabile che potrebbe combinarsi con la variabile rifiutata per formare una quantità adimensionale. Tuttavia non è questo il caso dell'esempio descritto.

Quando l'analisi dimensionale porta a una soluzione di problemi dove viene coinvolto solo un prodotto adimensionale di forze, come qui, non ci sono funzioni sconosciute, e la soluzione viene detta "completa".

Un esempio più complesso Consideriamo il caso di un filo vibrante di lunghezza [] che vibra con un'ampiezza []. Il filo ha una densità lineare pari a [] ed è teso con una tensione []. Vogliamo conoscere l'energia [] contenuta nel filo. Si può facilmente trovare che possiamo formare due prodotti adimensionali di forze nelle variabili scelte.

e .

Forse sorprendentemente, come la nel semplice esempio dato sopra, la densità lineare del filo non viene coinvolta nel problema. I due gruppi trovati possono essere combinati in una forma equivalente come un'equazione

dove è una funzione sconosciuta o equivalentemente come

dove è una qualche altra funzione sconosciuta. Qui la funzione sconosciuta implica che la nostra soluzione è incompleta, ma l'analisi dimensionale ci ha comunque dato qualcosa che potrebbe non essere stata ovvia: l'energia è proporzionale alla forza di tensione iniziale. Escludendo ulteriori analisi, potremmo procedere in esperimenti volti a scoprire la forma della funzione sconosciuta . Ma i nostri esperimenti sono più semplici rispetto a come sarebbero senza l'analisi dimensionale. Non ne abbiamo infatti bisogno per verificare che l'energia è proporzionale alla tensione. O forse potremmo ipotizzare che l'energia è proporzionale a , e quindi dedurre che . L'analisi dimensionale è spesso di grande aiuto negli esperimenti.

Aggiunta di Huntley Huntley (Huntley, 1967) ha affermato che a volte è produttivo raffinare il concetto di dimensione. Due possibilità in questo senso sono:

Le componenti di un vettore possono essere considerate come dimensionalmente distinte. Per esempio, piuttosto che un'unità di lunghezza indifferenziata , potremmo avere che rappresenta la lunghezza nella direzione , e così via. Questo bisogno deriva direttamente dalla necessità che ogni componente di un'equazione fisicamente significativa (scalare vettoriale o tensore) deve essere dimensionalmente coerente. La massa come misura della quantità di materia deve essere considerata dimensionalmente distinta dalla massa come misura di inerzia.