In carriera ha giocato con i Baltimore Ravens, i Carolina Panthers e i Los Angeles Chargers.
Carriera universitaria In gioventù frequenta la Handley High School di Roanoke, Alabama, per poi scegliere di frequentare l'Università dell'Alabama nel 2013. Dopo tre annate trascorse come gregario, a partire dal 2016 è centro titolare dei Crimson Tide, dei quali è nominato capitano nel 2017. Il 6 gennaio 2018 conquista con i Crimson Tide il titolo di campione nazionale.
Carriera professionistica Baltimore Ravens Il 28 aprile 2018 Bozeman fu scelto nel sesto giro del Draft NFL 2018, con la 215ª scelta assoluta, dai Baltimore Ravens. Debuttò come professionista il 9 settembre 2018, nella gara del primo turno della stagione 2018 vinta contro i Buffalo Bills. Chiuse la sua stagione da rookie giocando in 14 gare delle 16 della stagione regolare, di cui una come titolare. Bozeman fece il suo esordio nei play-off nella gara del turno delle Wild card del 6 gennaio 2019 contro i Los Angeles Chargers.
A partire dalla successiva stagione 2019 fu il centro titolare dei Ravens. Fu confermato nel ruolo anche per la stagione 2020 e quella 2021, giocando tutte le gare disputate da partente.
Carolina Panthers Il 18 marzo 2022 firmò un contratto annuale con i Carolina Panthers. Giocò tutte le gare della stagione regolare, di cui 11 come titolare.
Il 13 marzo 2023 Bozeman firmò un estensione triennale a 18 milioni di dollari. Nel 2023 fu il centro titolare dei Panthers disputando da partente tutte le 17 gare stagionali.
Il 13 marzo 2024 Bozeman fu svincolato dai Panthers.
Los Angeles Chargers Il 18 marzo 2024 Bozeman firmò con i Los Angeles Chargers. Giocò da titolare 33 gare delle 34 disputate dai Chargers nelle stagioni 2024 e 2025 e le due gare dei play-off.
Ritiro Il 23 febbraio 2026 Bozeman annunciò il suo ritiro dal football professionistico dopo otto anni di carriera.]
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