La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare φn + φn−1 = φn+1. Ad esempio, 11φ = 100φ.
Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello ; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari.
Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.
Esempi Decimale Potenze di φ Base φ 1 φ0 2 φ1 + φ−2 3 φ2 + φ−2 4 φ2 + φ0 + φ−2 5 φ3 + φ−1 + φ−4 6 φ3 + φ1 + φ−4 7 φ4 + φ−4 8 φ4 + φ0 + φ−4 9 φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4 10 φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4
Rappresentazione di alcuni numeri irrazionali notevoli in base aurea Di seguito sono riportate le rappresentazioni in base φ di alcuni interessanti numeri irrazionali:
≈ 100,0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ...φ e ≈ 100,0000 1000 0100 1000 0000 0100 ...φ ≈ 1,0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ...φ φ = = 10φ = 10,1φ
Bibliografia
Voci correlate Successione di Fibonacci Rettangolo aureo
Collegamenti esterni
Categoria:Sezione aurea