La spettroscopia nel vicino infrarosso risolta nel tempo (in inglese: time-domain near infrared spectroscopy, abbreviato TD-NIRS) è una tecnica ottica non distruttiva che consiste nella quantificazione dell'attenuazione, del ritardo e dell'allargamento temporale di brevi (< 100 ps) impulsi di luce laser nel vicino infrarosso (NIR) a seguito della propagazione in un mezzo materiale fortemente diffondente, con lo scopo di caratterizzare otticamente il mezzo nei termini di coefficiente di assorbimento e coefficiente di scattering ridotto .
A partire dalla conoscenza dei parametri ottici del campione in esame, è possibile trarre conclusioni sulla sua struttura interna e risalire alla concentrazione di determinate sostanze in esso contenute. Queste informazioni possono essere sfruttate in modo differente, a seconda del contesto applicativo della tecnica: ad esempio, in ambito clinico, note le concentrazioni di emoglobina ossigenata e deossigenata, è possibile risalire alla saturazione di un dato tessuto. Fenomenologia Numerosi mezzi materiali quali tessuti biologici, frutta e verdura, compresse farmaceutiche e legno interagiscono in modo similare con la radiazione luminosa nello spettro visibile e nel vicino infrarosso. Nella fattispecie, possono essere considerati mezzi torbidi, cioè in grado di assorbire e diffondere la luce che li attraversa: tali proprietà vengono riassunte da parametri ottici dipendenti dalla lunghezza d'onda della luce, rispettivamente il coefficiente di assorbimento e il coefficiente di scattering ..
L'assorbimento è dovuto a determinati cromofori contenuti all'interno del materiale, caratterizzati da uno spettro di assorbimento determinato dalla struttura elettronica a bande della molecola: per particolari intervalli di lunghezza d'onda, una transizione elettronica dallo stato fondamentale allo stato eccitato può essere promossa mediante l'assorbimento di un fotone. Nell'ambito delle applicazioni notevoli della tecnica (si veda sotto), ne sono esempi l'emoglobina contenuta nel sangue, la clorofilla e i carotenoidi racchiusi in frutta e verdura, o l'acqua..
La diffusione può essere giustificata a partire dalla struttura interna eterogenea e complessa del materiale, caratterizzata da innumerevoli discontinuità dell'indice di rifrazione e particelle diffondenti di dimensioni eventualmente non uniformi, che determinano numerose deviazioni della traiettoria di ciascun fotone, tanto da renderla descrivibile nei termini di un processo di random walk..
Mettendo a confronto il segnale luminoso iniettato all'interno del materiale con l'impulso rilevato all'uscita, si evidenzia come quest'ultimo sia sottoposto a un ritardo temporale, ad un'attenuazione e ad un allargamento del profilo. Il ritardo è dovuto alla distanza che sussiste tra il punto d'iniezione e il punto di raccolta della luce sul mezzo materiale; l'attenuazione è il risultato combinato di assorbimento e diffusione: la porzione di luce che non raggiunge il punto di raccolta può essere assorbita oppure diffusa in un'altra direzione; l'allargamento è dovuto al fatto che ciascun fotone rilevato all'uscita è coinvolto in un numero differente di eventi di scattering e trascorre un tempo differente all'interno del mezzo: gli ultimi fotoni ad essere rivelati sono quelli che si sono propagati per più tempo nel materiale e ne hanno esplorato le regioni più profonde.
Modelli analitici
Equazione del trasporto radiativo Un possibile approccio che consente di descrivere la propagazione della luce all'interno di un mezzo diffondente e assorbente, molto più immediato di una trattazione rigorosa a partire dalle equazioni di Maxwell, è di tipo euristico e prende il nome di equazione del trasporto radiativo (RTE). A partire da considerazioni di natura energetica, viene prodotta un'equazione di bilancio, nella forma dell'equazione di Boltzmann, che lega la variazione temporale della densità di energia all'interno di un volume di controllo infinitesimo ai differenti contributi che la determinano:.
In particolare, definita la velocità della luce all'interno del mezzo materiale, il coefficiente di estinzione e la radianza in posizione , direzione , al tempo , il membro sinistro dell'equazione si giustifica come segue:
rappresenta il flusso netto di energia uscente dal volume di controllo lungo ; è la frazione di potenza dissipata per effetto combinato di assorbimento e diffusione in direzioni diverse da ; descrive un flusso di energia entrante nel volume di controllo, risultato dei fotoni viaggianti in tutte le possibili direzioni e diffusi in direzione , con una distribuzione di probabilità descritta dalla funzione di fase ; è un termine sorgente che tiene conto di un'eventuale generazione di energia lungo all'interno del volume di controllo.
Sebbene in grado di rappresentare accuratamente il problema del trasporto di fotoni in un mezzo diffondente, la RTE è risolvibile unicamente per via numerica. Pertanto, per finalità pratiche, è preferibile adottarne una forma approssimata che prende il nome di equazione della diffusione (DE), la quale dispone di soluzioni analitiche sufficientemente semplici per determinate condizioni al bordo.
Equazione della diffusione
Assunzioni Per poter effettuare l'approssimazione dall'equazione del trasporto radiativo all'equazione della diffusione, sono necessarie alcune assunzioni non particolarmente onerose nei termini di fedeltà del modello alla controparte reale, specialmente per tessuti biologici e altri campioni con i quali si lavora sperimentalmente.
In particolare, si richiede che:.
la radianza sia pressoché isotropa: ciò permette di svilupparla in una serie di armoniche sferiche troncata al primo ordine (approssimazione ), ovvero come somma di un contributo isotropo, la fluenza , e di un contributo anisotropo lineare, il flusso : la variazione temporale del flusso in un intervallo di tempo sia trascurabile rispetto al flusso stesso: dove è il coefficiente di scattering ridotto, con fattore di anisotropia, definito come il valor medio pesato sulla funzione di fase del coseno dell'angolo tra la vecchia e la nuova direzione di propagazione dei fotoni a seguito di un evento di diffusione. In termini pratici, è possibile mostrare che le assunzioni 1. e 2. risultano soddisfatte per mezzi in cui la diffusione è predominante sull'assorbimento (): in effetti, la randomizzazione delle traiettorie dei fotoni determinata da innumerevoli eventi di scattering favorisce l'isotropizzazione della radianza. Per contro, alti valori del coefficiente di assorbimento limitano fortemente l'esistenza di fotoni caratterizzati da elevate lunghezze di cammino all'interno del mezzo, favorendo fotoni con lunghezze di cammino brevi, le cui traiettorie non sono ancora completamente randomizzate dal momento che sono stati sottoposti a un numero insufficiente di eventi di scattering..
Formulazione A valle delle assunzioni precedenti, l'equazione di diffusione per un mezzo materiale caratterizzato da coefficienti di assorbimento e scattering spazialmente uniformi, nel quale compare un termine sorgente isotropo, risulta essere:.
dove è il coefficiente di diffusione.
Vale la pena osservare che nel contesto dell'approssimazione di diffusione, la tendenza del mezzo materiale di diffondere più o meno la luce, codificata da , e il valore medio dell'angolo al quale la luce è deviata a seguito di un evento diffusivo, codificato da , compaiono inseparabilmente all'interno dell'equazione come : ciò implica che a parità di indice di rifrazione, due mezzi materiali caratterizzati da differenti combinazioni di e che restituiscono il medesimo si comportano identicamente secondo la DE, mentre lo stesso non sarebbe vero nei termini della più rigorosa RTE..
Tipicamente, l'equazione della diffusione, congiuntamente ad una data condizione al bordo (discussa poco sotto), viene risolta nel caso semplice di sorgente deltiforme nello spazio e nel tempo. In seguito, attraverso l'applicazione del metodo di Green, è possibile risalire ad una soluzione di fluenza per una generica sorgente, arbitrariamente complessa..
Condizioni al bordo Nota la struttura dell'equazione di diffusione, è necessario provvedere alla sua chiusura specificando opportune condizioni al bordo, che rispecchino in modo più o meno accurato il mezzo materiale reale. Questo consiste non solo nello specificare la geometria (ossia la forma fisica) del mezzo diffondente, ma anche stabilire a priori quale sia l'andamento della fluenza all'approcciarsi della frontiera che separa il mezzo materiale dall'esterno, tipicamente supposto non diffondente (ad esempio, aria)..
Per quanto concerne la prima problematica, limitandosi a materiali con parametri ottici spazialmente omogenei, sono disponibili funzioni analitiche di Green della fluenza per geometrie relativamente semplici, con le quali si può pensare di approssimare la reale forma del campione sotto indagine. Tra queste si annoverano il mezzo semi-infinito, la lastra infinitamente estesa (slab), il parallelepipedo (brick), la sfera e il cilindro...
Circa l'andamento funzionale della fluenza lungo , invece, esistono diversi approcci, più o meno rigorosi e più o meno onerosi in termini di facilità di implementazione. Nella pratica, si preferisce adottare un compromesso accettabile tra accuratezza e complessità della soluzione, sotto forma della EBC (Extrapolated Boundary Condition). Tale condizione al bordo propone di legare attraverso la legge di Fick il flusso e la fluenza lungo :
(con normale uscente a ) e di assumere che all'esterno del mezzo materiale, la fluenza decada linearmente sino a raggiungere il valore nullo in corrispondenza di una distanza dall'interfaccia, con parametro dipendente dal rapporto tra indice di rifrazione del mezzo e dell'esterno..
Disaccoppiamento dei coefficienti di assorbimento e scattering
Al fine di chiarire la possibilità di separare i contributi di assorbimento e scattering mediante una sola misura risolta nel tempo, può essere presa in considerazione la funzione di Green dell'equazione della diffusione per la geometria semi-infinita. In tale configurazione, il semispazio è occupato dal mezzo diffondente avente indice di rifrazione e parametri ottici , , mentre l'altro coincide con l'esterno (per semplicità, aria). La sorgente è assunta isotropa e collocata ad una profondità all'interno del mezzo diffondente, mentre la raccolta è posizionata sull'interfaccia dei semispazi, ad una distanza sul piano dal punto di iniezione: siffatta configurazione è definita di riflettanza..
Introducendo la riflettanza , una quantità di interesse sperimentale, definita come la potenza per unità di superficie all'interfaccia, ad una distanza \rho dal punto di iniezione, si ha, nel caso descritto poco sopra:
con .
L'andamento asintotico della coda del profilo temporale di riflettanza, che rappresenta la porzione dei fotoni che hanno trascorso più tempo all'interno del mezzo, è dipendente dal coefficiente di assorbimento:
Ciò implica che per bassi valori del coefficiente di assorbimento, è più facile che i fotoni trascorrano tempi lunghi nel mezzo senza essere assorbiti, per essere poi visti dal rivelatore, determinando una pendenza lieve della coda. Viceversa, per valori grandi del coefficiente di assorbimento, la coda del profilo di riflettanza diventa ripida: infatti, tanto più è il tempo trascorso nel mezzo, quanto più è elevata la probabilità che un fotone sia coinvolto in un evento di assorbimento, che gli impedisce definitivamente di raggiungere il rivelatore, scoraggiando l'esistenza di fotoni "tardivi", cioè dall'elevata lunghezza di cammino.