In matematica, una relazione ternaria o relazione triadica è una relazione in cui il numero di posti nella relazione è tre. Le relazioni ternarie possono anche essere indicate come 3-adiche, 3-arie o 3-dimensionali.
Così come una relazione binaria è formalmente definita come un insieme di coppie, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi A e B, così una relazione ternaria è un insieme di triple, formanti un sottoinsieme del prodotto cartesiano di tre insiemi A, B e C.
Un esempio di relazione ternaria in geometria elementare può essere dato sulle triple di punti, dove una terna è nella relazione se i tre punti sono collineari. Un altro esempio geometrico può essere ottenuto considerando delle terne costituite da due punti e una retta, dove una terna è nella relazione ternaria se i due punti determinano (sono incidenti a) la retta.
Esempi
Funzioni binarie Una funzione in due variabili associa ad ogni coppia (a, b) in un elemento f(a, b) in C. Pertanto, il suo grafico è costituito da coppie della forma . Tali coppie, in cui il primo elemento è esso stesso una coppia, possono essere viste come triple. Ciò rende il grafico di f una relazione ternaria tra A, B e C, costituito da tutte le triple , con e .
Ordini ciclici Dato un qualsiasi insieme A i cui elementi sono disposti su una circonferenza, si può definire una relazione ternaria R su A, cioè un sottoinsieme di A3 = , stabilendo che vale se e solo se gli elementi a, b e c sono a due a due diversi e andando da a a c in senso orario si passa per b. Ad esempio, se A = rappresenta le ore sul quadrante di un orologio, allora è vero e è falso.
Relazioni di interdipendenza
Relazioni di equivalenza ternarie
Relazione di congruenza La congruenza ordinaria dell'aritmetica
che vale per tre numeri interi a, b e m se e solo se m divide a − b, formalmente può essere considerata come una relazione ternaria. Tuttavia, solitamente, viene invece considerata come una famiglia di relazioni binarie tra a e b, indicizzate dal modulo m. Infatti, per ogni m fissato, questa relazione binaria ha alcune proprietà naturali, come essere una relazione di equivalenza, mentre in generale la relazione ternaria risultante non è studiata come relazione unica.
Relazione di tipizzazione Una relazione di tipizzazione indica che è un termine di tipo nel contesto , ed è quindi una relazione ternaria tra contesti, termini e tipi.
Regole di Schröder Date le relazioni omogenee A, B, e C su un insieme, una relazione ternaria può essere definita usando la composizione delle relazioni AB e l'inclusione AB ⊆ C. All'interno del calcolo delle relazioni, ogni relazione ha una relazione inversa e una relazione complemento . Usando queste involuzioni, Augustus De Morgan ed Ernst Schröder hanno dimostrato che è equivalente a e anche equivalente a . Le mutue equivalenze di queste forme, costruite dalla relazione ternaria , sono chiamate regole di Schröder.Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, pp. 15–19, Springer books
Note
Bibliografia
Categoria:Matematica Categoria:Logica matematica Categoria:Logica Categoria:Teoria degli insiemi