In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.
Definizione Sia uno spazio di misura e sia una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione preserva la misura se
Banalmente, la trasformazione identica su preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.
Esempio: diffeomorfismo di Anosov Sia un -toro. Presa una matrice invertibile definita su di taglia , essa definirà naturalmente una mappa lineare da tale che . Essendo una matrice a entrate intere, essa mappa in sé. A ci permette di definire una mappa tale che (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui essa è invertibile dunque un automorfismo.
Sia dunque un diffeomorfismo di Anosov.
Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è
dunque la trasformazione preserva la misura.
Gli autovalori della trasformazione sono e , con .
Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari: Inoltre , quindi preserva la misura di Borel.
Esempio: mappa di Gauss La mappa di Gauss , con , , preserva la misura di Gauss data da
per ogni insieme di Borel misurabile.
è un'unione disgiunta, quindi
Caratterizzazione delle trasformazioni che preservano la misura Siano spazi di probabilità, con . Sia una trasformazione. Sia una semi-algebra che genera . Allora è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni si ha e .
Bibliografia Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994. Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008. Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
Voci correlate Spazio di misura Funzione misurabile Trasformazione non singolare Teoria ergodica Teorema di ricorrenza di Poincaré
Categoria:Teoria della misura