In matematica, l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo a una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici, meccanica statistica, caos quantistico e frattali. L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.
Si consideri una trasformazione misurabile , con uno spazio con misura -finita. Sia una misura di probabilità su e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi , la misura tale che descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione . Sia assolutamente continua rispetto ad con densità . Se anche è assolutamente continua rispetto ad , con , possiamo definire l'operatore su data da
Per trasformazioni non singolari, l'operatore è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma
Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato , con operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione .
Definizione Sia uno spazio di misura -finito e sia una trasformazione non singolare di . Un operatore che soddisfa la condizione
è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione . L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron , detto operatore di Koopman, è dato da .
In particolare, se è biettiva e non singolare rispetto a , allora
per quasi ogni .
Proprietà L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare: è un operatore lineare; se ; ; l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni. Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni ,
Teorema di esistenza dell'operatore di Frobenius-Perron Sia con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia una trasformazione misurabile. Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di , , con le seguenti proprietà:
gli insiemi e hanno misura di Lebesgue nulla; le funzioni sono diffeomorfismi da in .
Allora anche le trasformazioni sono diffeomorfismi da in , l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula
dove . Difatti:
Operatore di Frobenius-Perron su intervalli Supponiamo che sia un intervallo, e sia . Allora
Se è differenziabile e invertibile allora è monotona. Sia quindi monotona crescente ed con derivata continua. Allora e quindi
Esempi Mappa logistica Sia una mappa logistica, con , con . Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo :
L'equazione diventa quindi
ossia
Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come trasforma la densità in una nuova densità . Prendendo ad esempio per , otteniamo
con densità limite di quando .
Applicazioni Sistema di funzioni iterate Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti, su uno spazio di misura -finito . Siano funzioni misurabili non negative definite su tali che per ogni . Si prenda un punto . Si sceglierà la trasformazione con probabilità e la posizione di dopo l'azione del sistema sarà . Si consideri dunque la probabilità di transizione per ogni e insieme misurabile . Per ogni misura si avrà:
e, se è assolutamente continua, , si avrà
con operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a sarà della forma .
Sia , , una famiglia di trasformazioni misurabili, dove è uno spazio metrico dotato di misura di Borel , e sia una famiglia di funzioni misurabili tali che con probabilità di transizione della forma Se ogni trasformazione è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma
dove è l'operatore di Frobenius-Perron per .
Bibliografia Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002. Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A simple introduction to ergodic theory. University of Utrecht, Lecture notes in Ergodic Theory, 2008. Manfred Einsiedler and Thomas Ward. Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer, first edition, 2010. Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994. Peter Walters. An introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000 edition.
Voci correlate Teoria ergodica Operatore di Markov Trasformazione non singolare Trasformazione che preserva la misura
Categoria:Teoria ergodica