L'algebra astratta è la branca della matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche come gruppi, anelli e campi. Mentre per secoli la matematica ha studiato singoli insiemi numerici in modo distinto (si pensi all'insieme dei numeri naturali , dei numeri interi o dei complessi ), l’algebra astratta nasce invece dall’intuizione che ciò che accomuna questi insiemi non sia tanto la natura degli elementi che li compongono, quanto le operazioni che è possibile definire su di essi e le proprietà che tali operazioni soddisfano. Se due insiemi sono dotati delle stesse operazioni e queste operazioni soddisfano le medesime proprietà, allora, dal punto di vista dell’algebra astratta, non è fondamentale la natura degli elementi che li compongono, ma la struttura che le operazioni definiscono. In questo senso, i due insiemi possono essere considerati esempi della stessa struttura algebrica.
Partendo dallo studio degli "insiemi privi di struttura" (o insiemistica vera e propria), la disciplina procede ad analizzare insiemi via via più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.
Descrizione
L'espressione "algebra astratta" viene utilizzata per distinguere questo campo di studi dall'"algebra elementare" che invece si occupa delle regole per manipolare le formule e le espressioni algebriche che utilizzano numeri reali e complessi.
Storicamente, le strutture algebriche nacquero in altri campi della matematica, dove furono specificate assiomaticamente; successivamente, furono studiate come oggetti a sé stanti nell'algebra astratta. Per questo motivo, l'algebra astratta è fruttuosamente connessa con quasi tutti i rami della matematica.
Esempi di strutture algebriche con una singola operazione binaria sono:
semigruppi; monoidi; quasigruppi; loop; gruppi.
Esempi più complessi includono:
anelli e campi; moduli e spazi vettoriali; algebre associative e algebre di Lie; reticoli e algebre di Boole.
Nell'algebra universale, tutte queste definizioni e proprietà sono raccolte per essere applicate a tutte le strutture algebriche nello stesso modo. Tutte le classi di oggetti elencate sopra, insieme con la nozione di omomorfismo, formano delle categorie, e la teoria delle categorie fornisce spesso il formalismo necessario per tradurre tra differenti strutture algebriche e per confrontarle.
Bibliografia Lucio Lombardo-Radice, Istituzioni di algebra astratta. Feltrinelli, Milano 1965.
Voci correlate
Algebra Algebra elementare Teoria dei gruppi Teoria degli anelli Algebra commutativa Teoria dei campi (matematica) Teoria delle rappresentazioni Algebra universale Teoria delle categorie Geometria algebrica Algebra differenziale Teoria algebrica dei numeri
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Collegamenti esterni
John Beachy: , Una lista esauriente di definizioni e teoremi. Joseph Mileti: Museo Matematico: , una buona introduzione all'argomento in termini di vita reale.
Categoria:Algebra