Il sillogismo (dal greco συλλογισμός, syllogismòs, formato da σύν, sýn, "insieme", e λογισμός, logismòs, "calcolo": quindi, "ragionamento concatenato") è un tipo di ragionamento dimostrativo che fu teorizzato per la prima volta da Aristotele, il quale, partendo dai tipi di termine "maggiore" (che funge da predicato nella conclusione), "medio" e "minore" (che funge da soggetto nella conclusione) classificati in base al rapporto contenente-contenuto, giunge ad una conclusione collegando i suddetti termini attraverso brevi enunciati (premesse).
La filosofia scolastica ha formalizzato che se almeno una delle due premesse è falsa, la conclusione è falsa, e se le premesse sono entrambe vere, invece, la conclusione è vera. Come dimostrano i paradossi logici che affermano il vero attraverso il falso, che restano il principale limite di una logica formale sul modello scolastico, se almeno una delle premesse è falsa, la conclusione può essere vera, perché da una falsità può seguire qualsiasi cosa, e dunque anche una verità. Ad esempio, a partire dalle false premesse "tutti i pesci sono uomini" (premessa maggiore) e "Socrate è un pesce" (premessa minore), si trae la verità "Socrate è un uomo" (conclusione). Invece, se le premesse sono entrambe vere, la conclusione non può essere falsa, perché da una verità può seguire soltanto una verità.
Aristotele Fino alla prima metà del XII secolo, delle opere di Aristotele erano note solo quelle tradotte da Boezio: le Categorie e il trattato Sull'interpretazione, che dettarono le basi della cosiddetta Logica vetus. Con il trattato Ἀναλυτικὰ Πρότερα (Latino: Analytica Priora; italiano: Analitici primi) in cui Aristotele sviluppa la teoria del sillogismo, vengono gettate le basi della cosiddetta Logica novaLa definizione di Aristotele del sillogismo: "Chiamo "termine" ciò in cui si scompone la premessa, ovvero il predicato e ciò di cui esso viene predicato, con l'aggiunta di [o divisi] "è" o "non è". "Sillogismo" è invece un discorso in cui, poste certe cose, qualcosa di diverso rispetto ai dati risulta di necessità per il fatto che sono questi." (Analitici primi, I, 1, 24b 17-20, Organon a cura di Maurizio Migliori, p. 375
Il trattato Analytica Priora fin dall'inizio fu visto dai logici come un corpo dottrinale chiuso e completo, che lasciava aperte ben poche questioni sulle quali dibattere. Nel corso del tempo subì pochi cambiamenti minori, fino alla risistematizzazione di tutta la logica iniziata nel XIV° secolo da pensatori come Giovanni Buridano.
Gli Analytica Priora ad esempio non incorporano la teoria del sillogismo nel più generale ambito del sillogismo modale, quello che contiene in almeno una delle due premesse, una parola logica del tipo "necessariamente", "è possibile che" / "forse", "in modo contingente". La terminologia di Aristotele in questo aspetto della sua teoria è stata ritenuta vaga e, in molti casi poco chiara, anche contraddicendo alcune sue dichiarazioni nel De Interpretatione. Le sue affermazioni originali su quelli che oggi chiamiamo sillogismi modali, hanno generato una vasta gamma di soluzioni proposte dai commentatori odierni: il sistema di sillogismi modali stabiliti da Aristotele sarebbe in ultima istanza ritenuto inadatto per l'uso pratico, e sarebbe stato sostituito del tutto da nuove distinzioni e nuove teorie.
Il filosofo e logico John Corcoran svolse una comparazione punto per punto degli Analytica Priora di Aristotele e Laws of Thought di Boole,John Corcoran, Aristotle's Prior Analytics and Boole's Laws of Thought, History and Philosophy of Logic, vol. 24 (2003), pp. 261–288 e sottolineò con enfasi come la logica booleana riprendeva e confermava quella aristotelica. Boole si prefisse gli obiettivi di: dotare la logica di basi matematiche che coinvolgono equazioni, estendere la classe di problemi che si potevano trattare grazie all'aver impiegato la risoluzione di equazioni per la valutazione di validità logica, ampliare il campo di applicazione, ad esempio da proposizioni che hanno due termini a proposizioni che ne hanno un numero arbitrario.
Tipi di sillogismo
Le proposizioni possono essere divise sotto tre aspetti: Quantitativo: universali o particolari (individuali) Qualitativo: affermativa o negativa Modale: possibili: non è in un modo, ma potrebbe esserlo (non piove, ma potrebbe cominciare) contingenti: è in un modo, ma potrebbe non esserlo (piove, ma potrebbe non piovere) impossibili: ciò che non è, e che non può essere necessarie: ciò che è, e che non potrebbe non essere L'impossibilità è una forma di necessità: dire che una cosa è impossibile significa dire che è necessario che non sia.
La forma di sillogismo più comune è il sillogismo categorico (al punto che solitamente per sillogismo si intende sillogismo categorico).
Le proposizioni che compongono un sillogismo categorico possono essere:
universali affermative ("Tutti gli A sono B"), universali negative ("Nessun A è B"), particolari affermative ("Qualche A è B"), particolari negative ("Qualche A non è B").
La posizione del termine medio nelle premesse determina la figura del sillogismo: Aristotele ne classificò tre, gli scolastici ne aggiunsero una quarta. La forma delle proposizioni contenute nel sillogismo ne determina il modo; la filosofia scolastica classificò i modi del sillogismo adoperando la prima o la seconda vocale (rispettivamente se universale o particolare) dei verbi affirmo e nego.
Per fare un esempio: (premessa maggiore) Tutti gli uomini sono mortali (premessa minore) Tutti i greci sono uomini (conclusione) Tutti i greci sono mortali
Nell'esempio in questione, uomo, mortale e greco sono termini rispettivamente medio, maggiore e minore.
A questo modello detto sillogismo categorico o perfetto (in cui cioè le due premesse portano deduttivamente ad una conclusione che è logica e necessaria) se ne aggiungono altri tre, tra cui il sillogismo retorico (detto anche “dialettico”), in cui le due “premesse” sono date per probabili e non per certe; il sillogismo sofistico (tipico della scuola sofistica, in cui la probabilità delle “premesse” è solo apparente ed ipotetica); il sillogismo modale, in cui una delle “premesse” e la “conclusione” del sillogismo dipendono dalle modalità con cui stabiliamo se le affermazioni sono vere o false.
Nella logica moderna, si aggiunge anche il sillogismo disgiuntivo.
Presupposti Le premesse devono essere enunciati di tipo dichiarativo (che dicono qualcosa di qualcosa), di cui cioè si possa dire univocamente se sono veri oppure falsi. Non sono enunciati di tipo dichiarativo le preghiere, le esclamazioni, le domande, i comandi non dichiarativi, il paradosso del mentitore, gli enunciati modali (credo che, so che, può essere, deve essere necessariamente).
Presupposti del sillogismo sono il principio di determinatezza e il principio di bivalenza dei singoli enunciati dichiarativi, che vanno applicati (separatamente) sia alla premessa maggiore che alla premessa minore: la premessa necessariamente sempre o è vera o è falsa, non può trovarsi contemporaneamente nello stato di "vero" e nello stato di "falso", né può non appartenere a uno di questi due stati (non essere né "vera" né "falsa").
In termini equivalenti, per le due premesse, in tutti i tipi di sillogismo noti, sono presupposti: legge dell'identità, legge di non-contraddizione, legge del terzo escluso. Se la legge di identità vale anche per enunciati non dichiarativi (es. paradosso del mentitore), il principio di determinatezza può essere fatto corrispondere (biunivocamente) al principio di non-contraddizione, e il principio di bivalenza al principio del terzo escluso.
Stessi presupposti valgono per la conclusione. In tutti i tipi di sillogismo, se la premessa maggiore e la premessa minore sono due enunciati di tipo dichiarativo, anche la conclusione è necessariamente un enunciato di tipo dichiarativo (o è vera o è falsa), ragioni per cui è superfluo ipotizzare che la conclusione sia un enunciato di tipo dichiarativo, essendo questo conseguenza logica della natura delle premesse.
La proprietà transitiva è l'esempio più elementare del sillogismo in logica matematica (soggetto singolare e stessa relazione nelle premesse), ad esempio: Marco è fratello maggiore di Luca; Luca è fratello maggiore di Alberto; Marco è fratello maggiore di Alberto. Il sillogismo è in generale un concetto più ampio che si serve anche del quantificatore esistenziale e operatore di negazione.
In logica matematica, un ragionamento si dice valido, corretto o (sintatticamente) ben formato se e solo se non può darsi il caso in cui le proposizioni siano vere e la conclusione sia falsa; in termini equivalenti, si dice che la conclusione è conseguenza logica delle premesse.
Validità e verità degli enunciati sono concetti distinti e indipendenti: è possibile che sia da due enunciati veri che da due enunciati entrambi falsi si arrivi ad una conclusione vera (per gli operatori booleani, non per il sillogismo); viceversa, è possibile che, con premesse entrambe false, la conclusione sia valida (es. tutti gli uomini volano; tutti gli asini sono uomini; tutti gli asini volano), poiché il ragionamento è valido formalmente.
Il sillogismo nulla dice circa la verità o falsità della premessa maggiore e minore, a meno che, secondo Aristotele, non si abbia a che fare con sillogismi “scientifici” o “dimostrazioni” (discussi negli Analitici Secondi), i quali presuppongono premesse vere.
Premessa maggiore e premessa minore sono legati tra loro da un unico connettivo logico di congiunzione, e l'insieme delle premesse è legato alla conclusione da un connettivo di Implicazione logica. Il sillogismo può essere riscritto (e risolto) nell'ambito della logica booleana con la congiunzione delle premesse, implicazione della conclusione, quantificatori. Dalla tavola di verità della congiunzione si evince che l'insieme delle premesse è vero se ogni singola premessa è vera; da quella dell'implicazione si evince che se le premesse sono vere, la conclusione è vera, ciò che fuori dall'algebra booleana e nella teoria del sillogismo definisce anche la correttezza di una particolare forma di sillogismo. Le premesse in forma di universale o particolare, positivo o negativo, sono rese con l'uso dei quantificatori: (Ogni A è B) (Per ogni x, se x è A, allora x è B), oppure (Ogni A è B) (Per ogni x tale che x è A, allora x è B), detto anche quantificatore ristretto.Valerio Allagranza, Sulla nozione di "Quantificazione ristretta" in logica e nella teoria grammaticale, Rivista di Grammatica Generativa, vol. 8 (1983), p. 3 di 64, Torino In questo secondo caso: Ogni amico di Maria è scapolo, (3) se <<Maria non ha amici>>, vale a dire se la condizione del quantificatore ristretto "Ogni amico di Maria" è falsa, la proposizione (3) non sarà né vera né falsa, né un terzo nuovo valore di verità, ma un valore di verità non-ammissibile, priva di ogni valore di verità. Per questo motivo, non si può dire che la premessa è uguale alla congiunzione di soggetto e predicato: la (3) non equivale a <<x è amico di Maria>> (3a) <<x è scapolo>>(3b), perché secondo la tavola di verità se (3a) è falso, dovrebbe esserlo anche la (3). La logica moderna non accetta in genere l'inferenza: "Ogni A è B" implichi che è vero che "Qualche A è B" (ciò che i logici medioevali chiamavano reductio ad subalternam): dall'esempio si vede però che una proposizione categorica è giudicabile come vera o falsa soltanto se è soddisfatta la sua condizione esistenziale pertinente. Se usiamo il quantificatore ristretto, vale il quadrato di Boezio in uso nella logica antica e medioevale,Ibidem, pag.22 detto dai logici moderni anche quadrato di opposizione fra le proposizioni categoriche (o semplicemente quadrato delle opposizioni), che elenca le forme di inferenza valide per le proposizioni universali o particolari.