In teoria dei numeri, una funzione additiva è una funzione aritmetica f(n) dell'intero n tale che per ogni a e b interi coprimi si abbia:
Funzione completamente additiva
Una funzione additiva è detta completamente additiva se è vera per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.
Ogni funzione completamente additiva è additiva, ma non viceversa.
Esempi
Sono funzioni aritmetiche completamente additive: La funzione logaritmo considerata in N. a0(n) - la somma dei primi che dividono n. Abbiamo a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. Alcuni valori: (OEIS A001414).
a0(4) = 4 a0(27) = 9 a0(144) = a0(24 · 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14 a0(2.000) = a0(24 · 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23 a0(2.001) = 55 a0(2.002) = 33 a0(2.003) = 2003 a0(54.032.858.972.279) = 1240658 a0(54.032.858.972.302) = 1780417 a0(20.802.650.704.327.415) = 1240681 ...
a1(n) - la somma dei primi distinti che dividono n. Abbiamo: a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7. Alcuni ulteriori valori: (OEIS A008472)
a1(4) = 2 a1(27) = 3 a1(144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5 a1(2.000) = a1(24 · 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7 a1(2.001) = 55 a1(2.002) = 33 a1(2.003) = 2003 a1(54.032.858.972.279) = 1238665 a1(54.032.858.972.302) = 1780410 a1(20.802.650.704.327.415) = 1238677 ...
La funzione Ω(n), definita come il numero totale di fattori primi di n, contando ogni fattore nella sua molteplicità. Ciò implica Ω(1) = 0 poiché 1 non ha fattori primi. Alcuni altri valori: ()
Ω(4) = 2 Ω(27) = 3 Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6 Ω(2.000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7 Ω(2.001) = 3 Ω(2.002) = 4 Ω(2.003) = 1 Ω(54.032.858.972.279) = 3 Ω(54.032.858.972.302) = 6 Ω(20.802.650.704.327.415) = 7 ...
ω(n), definita come il numero totale di fattori primi distinti di n. Questo è un esempio di funzione additiva che non è completamente additiva. Alcuni valori (confronta con Ω(n)) (OEIS A001221):
ω(4) = 1 ω(27) = 1 ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2 ω(2.000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2 ω(2.001) = 3 ω(2.002) = 4 ω(2.003) = 1 ω(54.032.858.972.279) = 3 ω(54.032.858.972.302) = 5 ω(20.802.650.704.327.415) = 5 ...
Funzioni additive e funzioni moltiplicative
Da qualunque funzione additiva si può facilmente creare una funzione moltiplicativa , cioè con la proprietà che per ogni a e b coprimi si abbia:
Un esempio è
Funzioni additive in altri campi della matematica
Al di fuori della teoria dei numeri, si definisce funzione additiva una funzione che preserva l'operazione di addizione:
per ogni elemento x e y del dominio. L'equazione funzionale precedente è nota come equazione di Cauchy.
Bibliografia
Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Anello di funzioni aritmetiche), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)
Collegamenti esterni
Additiva, funzione