Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.
Successioni Enunciato Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:
Una successione che tende a un limite strettamente positivo (che può essere anche ) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un tale che per ogni .
Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.
Dimostrazione Se è finito, basta prendere nella definizione di limite: esiste quindi un tale che è nell'intervallo per ogni ; poiché , allora per ogni .
Se , per la definizione di divergenza, dato un qualsiasi, esiste tale che per ogni .
Esempi La successione
converge ad , dove è il numero di Nepero. Il limite è strettamente positivo, quindi esiste un tale che per ogni Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio
i cui primi termini sono:
Funzioni Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x0
Sia una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme dei numeri reali, che ha limite
strettamente positivo in un punto di accumulazione per .
Allora esiste un intorno di tale che per ogni in diverso da .
Dimostrazione Poiché si può porre . Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di un intorno di tale che per ogni del dominio in . Quindi, per tali si ha , cioè , pertanto la funzione è positiva in , escluso al più .
Nota Se , esisterà un intorno di , in cui, in ogni suo punto escluso al più , . Nella dimostrazione si dovrà prendere , risultando così in escluso al più .
Enunciato per una funzione continua in x0 Sia una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme dei numeri reali, tale che:
dove è un punto di accumulazione per .
Allora esiste un intorno di tale che per ogni in .
Dimostrazione L'ipotesi di continuità di implica che:
Per ipotesi, , dunque per il teorema precedente segue l'asserto.
Osservazioni Se il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno di tale per cui per ogni si abbia
In questo teorema da non va escluso essendo continua in
Se è un intervallo, si può omettere di specificare che debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.
Se , esisterà un intorno di in ogni punto del quale . Nella dimostrazione si potrà prendere , risultando così in (da cui non si esclude per la continuità di anche in )
Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il cosiddetto suo "inverso".
Inverso del teorema della permanenza del segno Sia una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto e .
Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora
Dimostrazione:
Negando la tesi, si ha . Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più , risulta . Ma allora in ogni punto di risulta sia (per ipotesi) sia , ma ciò è assurdo: non può assumere valori distinti in uno stesso punto Dunque è Come al punto precedente, mutatis mutandis.
Osservazioni Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.
Nell'enunciato del teorema non si esclude se è continua in . In tale caso, come è noto, è .
Bibliografia
Permanenza del segno Categoria:Limiti