Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a

in cui , , , . Il parametro è detto "parametro naturale", mentre è detto "parametro di dispersione". Spesso oppure , con costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come Poisson, esponenziale e Bernoulli, , dunque sono parametrizzate solo da .

Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte multivariate, ovvero

in cui è ancora una grandezza scalare.

La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle analisi di regressione e allo studio dei modelli lineari generalizzati.

Media, varianza e cumulanti di ordine superiore Definendo la funzione generatrice dei cumulanti come il logaritmo della funzione generatrice dei momenti , si ottiene

da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine derivando volte in , risulta pertanto

dove denota la derivata -esima di , .

A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile :

e poiché e consegue che , vale a dire che è una funzione convessa e è una funzione strettamente crescente, con dominio e codominio lo spazio delle medie , dunque anche biiettiva, con inversa .

I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di asimmetria e curtosi.

Funzione di varianza Si è visto esprimibile come funzione di e di , ma poiché è in relazione biunivoca con , è possibile scrivere

in cui viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad , una precisa famiglia di dispersione esponenziale. Ad esempio solo 6 famiglie della classe DE hanno funzione di varianza al più quadratica ().

Parametrizzazione con media e funzione di varianza

Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media e varianza e a tal fine introdurre una notazione compatta , con .

Principali famiglie di dispersione esponenziale La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale. +Distribuzioni continueDistribuzione normaleDistribuzione gammaDistribuzioni discreteDistribuzione binomiale (riscalata)Distribuzione di PoissonDistribuzione binomiale negativa (riscalata) rientrano nella classe anche la distribuzione normale inversa e la distribuzione di Tweedie.

Note

Categoria:Inferenza statistica