In fisica, in particolare meccanica statistica e fisica della materia condensata, la teoria di Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young, abbreviata in teoria di KTHNY, costituisce una descrizione del processo di fusione dei cristalli bidimensionali (2D). Il nome deriva dai cognomi di John Michael Kosterlitz, David J. Thouless, Bertrand Halperin, David R. Nelson, e A. Peter Young, che svilupparono tale teoria nel corso degli anni settanta. Si tratta, assieme al modello di Ising in 2D e al modello XY sempre in 2D, di uno dei pochi modelli di meccanica statistica in grado di essere risolto analiticamente predicendo una transizione di fase ad una temperatura finita .
L'idea principale è che tale processo di fusione sia mediata dalla dissociazione dei difetti topologici che si formano nel cristallo nei pressi della temperatura di fusione, fenomeno che porta alla distruzione dell'ordine del cristallo (vedere transizione di Kosterlitz-Thouless). Tale processo avviene però in due passaggi separati, prima con la rottura dell'ordine posizionale (legato alla simmetria rispetto a traslazioni), e poi con quella dell'ordine orientazionale (legato alla simmetria rispetto a rotazioni).
Descrizione Contesto storico All'inizio degli anni settanta Michael Kosterlitz e David Thouless cercavano di risolvere una contraddizione riguardante i cristalli in due dimensioni: da un lato, il teorema di Mermin-Wagner afferma non si può avere in due dimensioni una rottura spontanea di una simmetria continua. Ciò implica che nei cristalli bidimensionali è esclusa la possibilità di avere ordine posizionale perfetto a lungo raggio. D'altro canto, le primissime simulazioni di dinamica molecolare da parte di Berni Alder e Thomas E. Wainwright prevedevano il verificarsi della cristallizzazione anche in due dimensioni. La teoria KTHNY mostra implicitamente che la periodicità perfetta non è un criterio necessario per un solido (ciò è già indicato dall'esistenza di solidi amorfi come i vetri). Secondo la definizione di Kosterlitz, ciò che definisce un solido in due dimensioni è la presenza di un modulo di taglio non nullo.
Kosterlitz e Thouless proposero che le coppie di dislocazioni virtuali, generate dall'eccitazione termica, inducano un ammorbidimento del cristallo (descritto dalla teoria del gruppo di rinormalizzazione) durante il riscaldamento del sistema. Alla dissociazione delle dislocazioni si associa un simultaneo azzeramento del modulo di taglio, indicando la transizione a una fase fluida. Per l'idea di una transizione di fase dovuta alla dissociazione di coppie di difetti topologici (nota come transizione di Kosterlitz-Thouless) avrebbero ricevuto il Premio Nobel per la fisica nel 2016.
Sulla base di questo lavoro, alcuni anni dopo David Nelson e Bertrand Halperin dimostrarono che la fase risultante non è ancora un fluido isotropo, bensì un cristallo liquido esatico. Partendo da un reticolo esagonale (che è la struttura più densa in due dimensioni), la fase esatica possiede un sestuplice campo direttore, ossia invariante per rotazioni di 60° (un sesto dell'angolo giro). Tale ordine orientazionale scompare solo a causa delle dissociazioni di una seconda classe di difetti topologici, denominati disclinazioni. Peter Young calcolò poi l'esponente critico della lunghezza di correlazione in corrispondenza nella transizione tra la fase cristallina e quella esatica.
La teoria di KTHNY prevede due transizioni di fase continue, escludendo quindi la possibilità di coesistenza fra fasi diversi o la presenza di un calore latente non nullo associato a tali transizioni.
Ordine e disordine Le fasi termodinamiche possono essere caratterizzate in base al fatto se posseggano ordine posizionale e orientazionale discreto o continuo, ossia se siano invarianti rispetto a traslazioni e rotazioni in modo discreto o continuo. Tali proprietà possono essere investigate considerando due parametri d'ordine e le corrispondenti funzioni di correlazione.
Se la posizione degli atomi (o in generale delle particelle costituenti) è nota, allora l'ordine posizionale può essere determinato mediante la funzione di correlazione posizionale , come funzione della distanza fra i siti del reticolo alla posizione e a quella , basata sulla funzione densità bidimensionale nello spazio reciproco:
.
Il vettore punta verso un sito del cristallo, dove l'atomo può fluttuare, a causa dell'agitazione termica, con ampiezza . è il vettore reciproco nello spazio di Fourier, mentre le parentesi angolari denotano una media statistica fra tutte le coppie di atomi poste a distanza .
L'ordine orientazionale può essere determinato considerato il campo direttore locale di una particella nella posizione , basato sull'angolo fra la posizione della particella e quella della -esima particella prima vicina (adiacente), con molteplicità 6. Se è il numero di primi vicini, il parametro d'ordine orientazionale è dunque:
.
è un numero complesso con modulo , la cui fase corrisponde dunque al campo direttore, con sestuplice molteplicità. In un cristallo esagonale, tale campo corrisponde semplicemente agli assi di simmetria del cristallo, mentre in corrispondenza di particelle con 5 o 7 vicini assume localmente un valore , a parte un piccolo contributo dovuto all'agitazione termica, in quanto tali particelle corrispondono a difetti del cristallo (dislocazioni e disclinazioni). La funzione di correlazione orientazionale fra due particelle e , poste alla distanza , è quindi definita come:
,
dove le parentesi angolari denotano la media statistica fra tutte le coppie di particelle poste ad una distanza .
La prima transizione separa una fase solida, avente ordine posizionale quasi a lungo raggio (la funzione di correlazione posizionale decade a legge di potenza) e ordine orientazionale a lungo raggio (la funzione di correlazione orientazionale tende ad un valore costante non nullo) dalla fase esatica, caratterizzata da ordine posizionale a corto raggio ( decade in modo esponenziale) e un ordine orientazionale quasi a lungo raggio ( decade a legge di potenza). La seconda transizione di fase separa la fase esatica dal fluido isotropo, dove sia l'ordine posizionale che quello orientazionale sono a corto raggio ( e decadono entrambe in modo esponenziale). faseordine posizionaleordine orientazionaledifetticristalloquasi a lungo raggio: lungo raggio: assenza di difettifluido esatico (anisotropo)corto raggio: quasi a lungo raggio: dislocazionifluido isotropocorto raggio: corto raggio: dislocazioni e disclinazioni Nelle transizioni di fase continue la differenza di energia tra le fasi termodinamiche diventa nulla in prossimità della transizione. Ciò implica che le regioni ordinate e disordinate fluttuano fortemente nello spazio e nel tempo. La scala di queste regioni aumenta notevolmente in prossimità delle transizioni e diverge (ossia tende a infinito) in corrispondenza della transizione stessa. A questo punto il sistema acquista caratteristiche frattali. I frattali sono caratterizzati dall'invarianza di scala: appaiono simili su una scala arbitraria o ingrandendo arbitrariamente (fisicamente ciò è vero su scale maggiori rispetto alla distanza fra gli atomi). Sull'invarianza di scala si basa la teoria del gruppo di rinormalizzazione per descrivere le transizioni di fase.
Entrambe le transizioni sono accompagnate da una rottura spontanea di simmetria. A differenza del processo di fusione in tre dimensioni, in due dimensioni la simmetria rispetto alle traslazioni e quella rispetto alle rotazioni non devono necessariamente rompersi simultaneamente, poiché due diversi tipi di difetti topologici distruggono i due tipi di ordine.
Fattore di struttura in due dimensioni
Tutte e tre le fasi termodinamiche, con le loro corrispondenti simmetrie, possono essere visualizzate utilizzando il fattore di struttura:La doppia sommatoria corre su tutte le coppie di particelle e , e le parentesi indicano una media sulle varie configurazioni. La fase isotropa è caratterizzata da anelli concentrici posti a , dove è la distanza media delle particelle, calcolata a partire dalla densità (bidimensionale) . La fase cristallina solida è caratterizzata da una sestuplice simmetria basata sull'orientamento del sistema. A differenza del caso tridimensionale, dove i picchi sono arbitrariamente sottili (descritti dalla funzione delta di Dirac ), nel caso bidimensionale i picchi hanno una larghezza finita descritta con una distribuzione di Lorentz. Ciò è dovuto al fatto che l'ordine posizionale (ossia la simmetria per traslazioni discrete) non è a lungo raggio, ma solo quasi-a lungo raggio, a causa del teorema di Mermin-Wagner. La fase esatica è invece caratterizzata da sei segmenti, che riflettono l'ordine orientazionale (la simmetria per rotazioni discrete) quasi a lungo raggio. I fattori di struttura mostrati a lato sono calcolati a partire da esperimenti basati su un monostrato colloidale (le croci al centro sono artefatti della trasformata di Fourier nell'analisi dei dati).
Interazione tra le dislocazioni Per analizzare il processo di fusione dovuta alla dissociazione delle dislocazioni, si parte dall'energia , funzione della distanza tra due dislocazioni. Una dislocazione isolata in due dimensioni è una distorsione locale del reticolo esagonale, costituita da una coppia di particelle vicine aventi, rispettivamente, cinque e sette vicini più prossimi, invece di sei e sei. È importante notare che, per ragioni topologiche, le dislocazioni possono essere create solo a coppie. Una coppia vincolata di dislocazioni è quindi un quartetto di particelle con una configurazione di vicini 5-7-7-5.
La doppia sommatoria corre su tutte le coppie di difetti ed , con che rappresenta la distanza tra le dislocazioni. è il vettore di Burgers e denota l'orientamento della dislocazione nella posizione . Il secondo termine nella parentesi fa sì che le dislocazioni tendano a disporsi preferibilmente in modo antiparallelo, per minimizzare l'energia. Il contributo di tale termine è piccolo, e può essere trascurato in caso di grandi distanze tra i difetti. Il contributo principale all'energia deriva invece dal termine logaritmico (il primo all'interno della parentesi), che descrive come l'energia di una coppia di dislocazioni diverga all'aumentare della distanza. Poiché la distanza più piccola possibile tra due dislocazioni è data approssimativamente dalla distanza media delle particelle , il fatto che le distanze vengano riscalate con all'interno dell'argomento del logaritmo impedisce che il termine diventi negativo. La forza dell'interazione è proporzionale al modulo di Young legato alla rigidità del reticolo cristallino. Per creare una dislocazione a partire da un reticolo ordinato, è necessario un piccolo spostamento su una scala inferiore alla distanza media delle particelle . L'energia associata a questo spostamento è solitamente chiamata energia di core (traducibile come "energia di base") e deve essere conteggiato per ciascuna delle dislocazioni individualmente (l'ultimo termine).