La teoria di Teichmüller inter-universale (Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT o più raramente IUTT, IUTeich e IUTch), indicata anche come teoria della deformazione aritmetica (ADT), è una teoria in geometria mono-anabeliana assoluta (una branca della geometria aritmetica) e geometria algebrica che è oggetto di dibattiti in particolare nella comunità dei matematici. La teoria è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki e pubblicata il 30 agosto 2012 per dimostrare la congettura abc, una congettura irrisolta molto importante in teoria dei numeri.
Questa teoria è correlata ai risultati ottenuti nella geometria mono-anabeliana assoluta; inoltre, unisce molti risultati presi da più campi e sottocampi della matematica e in particolare della teoria dei numeri (geometria algebrica, geometria aritmetica, topologia, teoria dei gruppi, teoria degli anelli, teoria degli schemi, teoria dei reticoli, calcolo tensoriale, teoria di Hodge-Arakelov, teoria di Kummer).
Inoltre, è correlata alla teoria di Teichmüller, ma si allontana dalle sue versioni classiche (la teoria di Teichmüller classica applicata alle deformazioni delle superfici di Riemann) siccome la IUT è la sua versione aritmetica, cioè accomodata al campo della geometria aritmetica. In tale senso, secondo lo stesso Mochizuki, la IUT si può pensare come la "teoria di Teichmüller aritmetica" che riguarda la deformazione canonica associata a una curva ellittica su un campo numerico. In altre parole, la IUT è la versione inter-universale o "la versione globale nella teoria di Galois" dell'integrale gaussiano. La IUT, inoltre, è formulata interamente con l'assioma di esistenza degli universi di Grothendieck più la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (detta "ZFC", dove "C" deriva da "choice", scelta), soprattutto quando sono trattate le operazioni di incollatura, sempre effettuate nei diagrammi.
Storia e prima concettualizzazione La IUT è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki (望月 新一), professore e ricercatore al centro RIMS (Research Institute for Mathematical Sciences) dell'Università di Kyoto. Mochizuki è un bambino prodigio in matematica che si è laureato in matematica all'Università di Princeton, in cui è entrato a 16 anni (intorno a settembre 1985) e ha iniziato a studiare le curve e le loro deformazioni. Nella stessa università, ha svolto il PhD in matematica (settembre 1988 - giugno 1992); il referente sia della tesi di laurea che di dottorato era Gerd Faltings. Nel 1993, la tesi di dottorato è stata pubblicata come articolo, The Geometry of the Compactification of the Hurwitz Scheme. Nel mentre, ha svolto per tre anni il ruolo di lettore (Benjamin Peirce Lecturer on Mathematics) al Dipartimento di Matematica dell'Università di Harvard (luglio 1992 - giugno 1995), per poi spostarsi al RIMS (Research Institute for Mathematical Sciences) dell'Università di Kyoto come ricercatore e professore.
Il suo principale interesse è costituito dalle curve iperboliche in geometria aritmetica. Durante i primi Anni '90, dopo il dottorato di ricerca, la sua ricerca in particolare si è focalizzata sulla geometria anabeliana p-adica e sulla teoria di Teichmüller p-adica, dunque una versione particolare della teoria di Teichmüller. Il suo obiettivo era capire le numerose connessioni tra la teoria di Teichmüller e la geometria anabeliana combinatorica delle curve iperboliche.
Fino al 2012, ha sviluppato una teoria che permettesse di risolvere la congettura abc (una congettura molto importante e complessa all'interno della teoria dei numeri con ricadute in primis sulla crittografia) e contemporaneamente che potesse gettare luce su altre congetture non ancora risolte in matematica e portare infine a un'altra dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, già dimostrato da Andrew Wiles nel 1994.
Motivazione e concepimento della IUT e la "coricità" Secondo un report di Mochizuki sulle sue attività di ricerca dall'estate 1992 al 2000, aveva iniziato a indagare le basi per la IUT tra l'estate del 2000 e l'estate del 2006. Per la precisione, la prima intuizione venne dopo il periodo di ricerca sulla teoria di Hodge-Arakelov sulle curve ellittiche (1998-2000), culminata nei suoi due articoli A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I e II. In questo filone di ricerca, Mochizuki ha provato a creare, nel contesto della teoria di Arakelov sulle curve ellittiche su campi numerici, una teoria analoga alla teoria di Hodge sui numeri complessi e p-adici. Queste considerazioni, discusse anche con una riformulazione basata sull'uso dell'integrale gaussiano, sono discusse nei due articoli menzionati.
Nello stesso report, Mochizuki indicava come la teoria di Hodge-Arakelov aveva caratteristiche interessanti, come la possibilità di costruire una mappa aritmetica di Kodaira-Spencer, per cui aveva una relazione con la congettura abc, un'importante congettura irrisolta in teoria dei numeri che lo stesso Mochizuki era tentato dal provare a risolvere. Tuttavia, la teoria di Hodge-Arakelov, da sola, non è sufficiente per provare la congettura abc. Pertanto, secondo Mochizuki, per risolverla era necessario usare un framework che andava oltre la geometria aritmetica convenzionale. Durante l'inizio della ricerca, la filosofia di Mochizuki era che l'essenza della geometria aritmetica non consiste negli schemi specifici che sono presenti in un ambiente/setting specifici di geometria aritmetica; la sua essenza risiederebbe piuttosto nei pattern combinatorici astratti che governano le dinamiche di questi schemi specifici e negli algoritmi combinatorici che descrivono questi pattern. Una geometria basata su quest'idea viene detta "geometria inter-universale".
In altre parole, quando si applica la teoria di Hodge-Arakelov (una parte di teoria degli schemi) alla geometria diofantea, sorgono delle difficoltà e ostruzioni tecniche che sono superate con la costruzione di un nuovo tipo di deformazioni matematiche, le deformazioni non-schemi-teoretiche (nonscheme-theoretic deformations), cioè deformazioni matematiche diverse da quelle che sono correlate alla teoria degli schemi. Infatti, a seguito della ricerca sulla teoria di Hodge-Arakelov, in altre parole Mochizuki nell'estate del 2000 era arrivato a stabilire che l'esistenza di un sottospazio moltiplicativo globale e di generatori canonici globali si può pensare come una sorta di analogo aritmetico della nozione in geometria di "famiglia isotriviale di curve ellittiche" e, inoltre, implica l'esistenza di limiti sull'altezza della curva ellittica in considerazione. Da questa considerazione, aveva capito che, con la teoria matematica fino ad allora sviluppata, non si potevano ottenere limiti dell'altezza delle curve ellittiche arbitrarie su campi numerici senza assumere l'esistenza di sottospazi moltiplicativi globali o generatori canonici globali. L'origine di queste ostruzioni in matematica deriva dai poli gaussiani (Gaussian poles) che rendono tutte le disuguaglianze ottenibili vuote: infatti, i morfismi critici di fibrati di rette (line bundles) aritmetici che appaiono in questo contesto hanno poli di ordine molto largo.
Pertanto, Mochizuki ha pensato di rielaborare la teoria di Hodge-Arakelov in modo tale da superare queste ostruzioni date dai poli gaussiani. La sua strategia è stata quella di deformare la teoria degli anelli e la teoria degli schemi. L'idea della deformazione viene dalla teoria della deformazione delle strutture olomorfe di una superficie di Riemann contenuta nella teoria di Teichmuller classica complessa; queste deformazioni sono associate a un differenziale quadratico diverso da zero (nonzero) su una superficie di Riemann. Le deformazioni, nella teoria di Teichmuller classica complessa, riguardano la dimensione olomorfa: essa è composta da due dimensioni inerenti reali che vengono disaccopiate (decoupling), per cui una delle due viene dilatata mentre l'altra resta invariata/fissa/indeformata. Dunque, in altre parole, il concepimento della IUT è legato a sviluppare una versione della teoria di Teichmuller nel campo della geometria aritmetica su curve ellittiche in un campo numerico.
Un altro spunto per optare per la deformazione viene dalla teoria di Teichmuller p-adica sviluppata dallo stesso Mochizuki tra il 1996 e il 1999: la versione della teoria di Teichmuller applicata ai numeri p-adici contiene le stesse deformazioni riadattate ai numeri p-adici. La teoria sviluppata era incentrata sui sollevamenti canonici p-adici (p-adic canonical liftings) sulle curve iperboliche su un campo perfetto con caratteristiche positive e dotato di un fibrato indigeno ordinario nilpotente; nella teoria, sono usati i vettori di Witt W(F) associati a un campo perfetto F. Riformulando a partire dalla teoria di Teichmuller p-adica, l'obiettivo era quello di sviluppare una teoria analoga a ma pensata per curve ellittiche forate su campi numerici e non per curve iperboliche su un campo perfetto di caratteristiche positive. Pertanto, la "geometria inter-universale" di Mochizuki è stata poi battezzata dallo stesso "Teoria di Teichmüller inter-universale" a causa del ruolo centrale delle deformazioni, già trattate da Teichmuller.
Questa deformazione/distorsione in geometria aritmetica però avrebbe portato inevitabilmente ad alcune perdite di informazioni negli oggetti matematici colpiti da deformazione; al contempo, alcune parti/porzioni di questi oggetti matematici restano immuni agli effetti della deformazione, per cui conservano l'informazione e sono "invarianti". Pertanto, il concepimento della IUT è legato alla necessità di studiare la deformazione della teoria degli schemi e degli anelli, le porzioni di oggetti matematici immuni alla perdita di informazioni ("nuclei", in inglese "cores") e il volume astratto della perdita di informazioni nelle porzioni non immuni. I nuclei, dunque strutture matematiche invarianti rispetto alle deformazioni, hanno in altre parole la proprietà di "coricità" (coricity, letteralmente "nucleità").
In sintesi, le tre cause che hanno portato al concepimento della IUT sono:
lo studio dell'essenza della geometria secondo Mochizuki (la combinazione di schemi e una serie di algoritmi dietro a questi pattern combinatorici) il superamento dei limiti della teoria di Hodge-Arakelov per risolvere problemi di teoria dei numeri (e.g., la congettura abc) lo sviluppo di una teoria delle deformazioni (concetto ripreso dalle deformazioni nella teoria di Teichmuller classica complessa e dalla teoria di Teichmuller p-adica) in geometria aritmetica per le curve ellittiche su campi numerici (individuare e studiare le porzioni di oggetti e strutture matematiche perdono informazioni e quelle che invece sono coriche, a quanto ammonta il volume della perdita di informazione)
Pertanto Mochizuki, per realizzare questi tre punti, ha sviluppato un nuovo approccio in geometria anabeliana, la "geometria mono-anabeliana assoluta".
La geometria mono-anabeliana assoluta e la "mono-analicità"
La geometria anabeliana è una branca della teoria dei numeri che descrive il modo in cui il gruppo fondamentale algebrico G appartenente a una varietà aritmetica X permette di riottenere X. Due importanti matematici che vi hanno contribuito sono Kenkichi Iwasawa e Alexander Grothendieck, autore della congettura anabeliana di Grothendieck; questa congettura è stata dimostrata con il lavoro di Akio Tamagawa e dello stesso Shin'ichi Mochizuki.