In analisi matematica, le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.
Operazioni con i limiti di funzione Siano:
due funzioni definite su domini non disgiunti, e sia un punto di accumulazione per .
Se esistono i limiti:
allora:
Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.
Dimostrazione Preso:
si ottiene direttamente:
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Presi:
e
dall'espressione:
per la disuguaglianza triangolare si ottiene:
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Preso:
aggiungendo e togliendo si ottiene:
posti:
e
Operazioni sulla retta estesa Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui e/o sia infinito. Ad esempio, se e è finito, valgono le relazioni seguenti:
Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come: (se )
(seguendo la regola dei segni convenzionale) (se )
Forme indeterminate
Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo:
Bibliografia Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964 R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)
Voci correlate Limite di una funzione
Categoria:Limiti