In matematica, il criterio dell'integrale (o criterio di Maclaurin-Cauchy) è un metodo utilizzato per determinare il comportamento (convergenza o divergenza) di una serie numerica infinita a termini monotoni. Fu sviluppato in modo indipendente dai matematici Colin Maclaurin e Augustin-Louis Cauchy. Enunciato del criterio Sia un numero intero e sia una funzione definita sull'intervallo illimitato , sul quale è monotona decrescente. Allora la serie infinita
converge a un numero reale se e solo se l'integrale improprio
è finito. In particolare, se l'integrale diverge, allora anche la serie diverge. Osservazione Se l'integrale improprio è finito, la dimostrazione fornisce anche un limite inferiore e un limite superiore per la serie:
Si noti che se la funzione è crescente, allora la funzione è decrescente e il teorema precedente è ugualmente applicabile.
Molti libri di testo richiedono come ipotesi che la funzione sia positiva, ma questa condizione non è in realtà strettamente necessaria: se è negativa e decrescente, infatti, è sufficiente osservare che sia che divergono semplicemente a . Dimostrazione La dimostrazione utilizza il criterio del confronto, confrontando il termine con l'integrale di calcolato rispettivamente sugli intervalli e . Poiché la funzione è monotona, essa è continua quasi ovunque. Per dimostrarlo, sia
Per ogni , per via della densità di , esiste un tale che . Questo insieme contiene un intervallo aperto non vuoto esattamente se è discontinua in . Possiamo identificare univocamente come il numero razionale che possiede l'indice minore in un'enumerazione e che soddisfa la proprietà precedente. Poiché è monotona, questo definisce un'applicazione iniettiva , pertanto è numerabile. Ne consegue che è continua quasi ovunque. Questo è sufficiente per garantirne l'integrabilità secondo Riemann. Dato che è una funzione monotona decrescente, sappiamo che:
e
Quindi, per ogni intero ,
e, per ogni intero ,
Sommando su tutti gli da fino a un certo intero maggiore , otteniamo dalla :
e dalla :
Combinando queste due stime si ottiene:
Facendo tendere all'infinito, si ricavano i limiti della disuguaglianza e il risultato cercato. Applicazioni La serie armonica
diverge perché, utilizzando il logaritmo naturale, la sua primitiva, e il teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo
D'altra parte, la serie
(cfr. Funzione zeta di Riemann) converge per ogni , perché integrando la potenza si ottiene:
Dalla si ottiene la stima superiore:
che può essere confrontata con alcuni dei valori particolari assunti dalla funzione zeta di Riemann. Confine tra divergenza e convergenza Gli esempi precedenti che coinvolgono la serie armonica sollevano la questione se esistano successioni monotone tali che decresca a 0 più velocemente di ma più lentamente di nel senso che
per ogni , e se la corrispondente serie delle converga o diverga. Una volta trovata una tale successione, si può porre una domanda simile facendo assumere a il ruolo di , e così via. In questo modo è possibile indagare il confine esatto tra divergenza e convergenza delle serie infinite.
Usando il criterio dell'integrale, si può dimostrare (vedi sotto) che, per ogni numero naturale , la serie
è ancora divergente, ma
converge per ogni . Qui denota la composizione -esima del logaritmo naturale, definita ricorsivamente da:
Inoltre, sia il più piccolo numero naturale tale che la composizione -esima sia ben definita e che , ovvero:
usando la tetrazione (o la notazione a freccia di Knuth).
Per verificare la divergenza della serie usando il criterio dell'integrale, si noti che per l'applicazione ripetuta della regola di derivazione delle funzioni composte:
per cui
Per verificare la convergenza della serie , si noti che per la regola delle potenze, la regola della catena e il risultato precedente si ha:
per cui
e la fornisce i limiti per la serie infinita nella . Note
Bibliografia
Voci correlate Criteri di convergenza Formula di Eulero-Maclaurin Teorema della convergenza dominata Teorema della convergenza monotona
Categoria:Teoremi di analisi matematica