In apprendimento automatico e statistica, la distanza di Gower (o coefficiente di similarità di Gower) è una misura di similarità tra due unità statistiche multivariate descritte da variabili di tipo misto (binarie, categoriche, ordinali o continue). A differenza di metriche come la distanza di Hamming o la distanza euclidea, che richiedono attributi omogenei, la distanza di Gower è in grado di gestire dataset ibridi, situazione comune nei casi reali. Un esempio potrebbe essere un database medico in cui i pazienti sono descritti da età (quantitativa), genere (nominale) e stadio della malattia (ordinale).

Per risolvere questo problema, la distanza di Gower standardizza e scala ogni variabile individualmente in un intervallo [0,1], calcolandone poi una media ponderata.

La misura fu proposta nel 1971 da John C. Gower e trova applicazione soprattutto nel clustering (ad esempio nell'algoritmo k-means), nella classificazione (ad esempio nell'algoritmo dei k-vicini più prossimi) e in altri algoritmi di apprendimento automatico e tecniche statistiche multivariate.

Definizione In sintesi, nella misura si normalizzano le differenze tra le coppie di valori per ciascuna variabile e poi si calcola una media ponderata di tali differenze.

Dati due oggetti e , rappresentati mediante i rispettivi valori di descrittori/variabili (quindi, ad esempio, come vettori -dimensionali), la distanza di Gower è definita come il complemento a 1 del coefficiente di similarità :

Il coefficiente di somiglianza globale è dato da:

dove: è il peso associato alla -esima variabile (di default impostato a 1 per tutte le variabili); è un indicatore binario di validità (0 o 1), che assume valore 0 se il dato è mancante (missing value) per una o entrambe le osservazioni sulla -esima variabile, oppure in casi specifici legati a variabili binarie asimmetriche. Altrimenti assume valore 1; è la similarità parziale tra l'osservazione e l'osservazione rispetto alla -esima variabile.

Calcolo delle similarità parziali Il valore di dipende strettamente dalla tipologia della variabile -esima: variabili quantitative (continue/discrete): la similarità è inversamente proporzionale alla distanza assoluta, normalizzata per il range (valore massimo meno valore minimo) osservato per quella variabile nel dataset ():

Così, se la differenza è massima il punteggio è 0, se i valori sono identici è 1. variabili qualitative (nominali/categoriche): la similarità è di tipo binario:

variabili binarie asimmetriche: per variabili in cui la mutua assenza (0-0) non implica somiglianza informativa (es. la presenza di una malattia rara), se e , l'indicatore viene posto a 0, escludendo la variabile dal computo per quella specifica coppia. variabili ordinali: le variabili vengono tipicamente sostituite dai loro ranghi , normalizzati nell'intervallo [0,1] tramite la formula

(dove è il rango massimo). Successivamente, vengono trattate come variabili quantitative. Nella sua formulazione originale, la distanza non trattava le variabili ordinali in modo speciale (l'estensione, è stata proposta negli anni '90, prima da Leonard Kaufman e Peter J. Rousseeuw poi da János Podani ).

Proprietà Limiti: la distanza di Gower è strettamente confinata nell'intervallo [0,1]. Identità degli indiscernibili: se e solo se ​. Simmetria: . Disuguaglianza triangolare: La distanza di Gower classica, espressa come ​, non sempre soddisfa la disuguaglianza triangolare, rendendola una semimetrica. Tuttavia, è dimostrato che la matrice di somiglianza di Gower è semi-definita positiva; pertanto, la trasformazione possiede proprietà metriche euclidee complete.

Implementazioni software La distanza di Gower è supportata nei principali ecosistemi di programmazione statistica:

R: All'interno del pacchetto cluster tramite la funzione daisy(), impostando il parametro metric = "gower". Python: Disponibile nel pacchetto gower oppure integrata indirettamente in librerie come scikit-learn-extra per il clustering.

Note

Categoria:Misure Categoria:Apprendimento automatico Categoria:Statistica multivariata