La Teoria di Dempster-Shafer (acronimo DST, dall'inglese Dempster-Shafer Theory) o Teoria delle Evidenze (Evidence Theory), è un framework matematico generalizzato per il ragionamento induttivo e la gestione dell'incertezza epistemica. Formulata originariamente da Arthur P. Dempster nel 1967 nell'ambito dell'inferenza statistica e successivamente sistematizzata in senso logico-epistemologico da Glenn Shafer nel 1976 , la DST estende la teoria della probabilità classica consentendo l'assegnazione di gradi di confidenza non solo a singoli eventi atomici, ma a qualsiasi sottoinsieme appartenente all'insieme delle parti dell'universo del discorso. Ciò permette al modello di operare una netta distinzione concettuale tra "mancanza di evidenza" (incertezza) e "presenza di evidenza contraria" (conflitto).

Formalizzazione

Quadro di discernimento Il contesto operativo è definito da un insieme finito (chiamato Frame of Discernment o quadro di discernimento) contenente ipotesi mutuamente esclusive ed esaustive:

A differenza del calcolo probabilistico tradizionale, l'universo su cui si definiscono le funzioni di misura non è l'insieme dei singoli elementi , bensì l'insieme delle parti di , denotato con :

La cardinalità di tale spazio è pari a . Ciascun sottoinsieme rappresenta una proposizione o un evento composto.

Assegnazione di massa base La conoscenza empirica elementare viene espressa tramite una funzione di assegnazione di massa base (detta anche bba o basic belief assignment), indicata con . Essa costituisce una mappatura vincolata dalle seguenti condizioni:

Il valore quantifica la porzione di evidenza che supporta esattamente e restrittivamente l'ipotesi complessiva , senza che sia possibile ripartirla ulteriormente tra i singoli elementi costitutivi di a causa della mancanza di informazioni specifiche. Qualsiasi sottoinsieme per cui valga prende il nome di elemento focale.

Funzioni di credenza e plausibilità Dato un sistema descritto da una bba , è possibile derivare due misure duali non additive capaci di mappare l'intervallo di confidenza associato a ogni proposizione :

La funzione di credenza (, o Belief), la quale esprime il grado di fiducia totale intrinsecamente ed estensivamente assegnato ad . Essa è computata accumulando le masse di tutti i sottoinsiemi che implicano logicamente ():

La funzione di plausibilità (), la quale indica l'estensione massima entro cui potrebbe teoricamente essere creduto qualora si acquisissero nuove evidenze compatibili. Essa somma le masse di tutti gli elementi focali che possiedono un'intersezione non vuota con :

Le due funzioni sono interconnesse tramite la relazione di complementarità:

dove denota il complemento di rispetto a . Per ogni insieme , si delinea un intervallo di probabilità della forma . L'ampiezza di tale intervallo, quantificata da , definisce matematicamente l'ignoranza epistemica del sistema in merito alla proposizione .

+ confronto dei profili di certezza nella DST Stato epistemico Valore Valore Significato empirico Certezza assoluta 1 1 è dimostrata vera Falsità assoluta 0 0 è dimostrata falsa Ignoranza totale 0 1 Non si possiede alcuna informazione né a favore né contro Incertezza probabilistica Si ricade nel collasso Bayesiano:

Regola di combinazione ortogonale di Dempster

Il nucleo della DST consiste nella capacità di fondere informazioni indipendenti provenienti da sorgenti distinte. Siano e due bba definite sullo stesso universo e derivate da canali informativi indipendenti. La regola di combinazione di Dempster (operatore ) sintetizza una nuova assegnazione esprimibile per ogni insieme non vuoto mediante la formula:

La variabile rappresenta il coefficiente di conflitto netto tra i corpi di evidenza ed è definita dalla sommatoria dei prodotti delle masse le cui intersezioni logiche risultano vuote:

Il fattore di normalizzazione ridistribuisce in modo proporzionale la massa confinata nelle intersezioni vuote su tutti gli elementi validi. Qualora sussista un conflitto insanabile (), le due fonti sono definite logicamente incompatibili e l'operazione di fusione non risulta applicabile. Esempi applicativi

Seguono alcuni esempi di applicazione della DST alla modellazione dell'affidabilità e dell'ignoranza e alla fusione di sensori

Problema del testimone Si consideri un caso giudiziario in cui si deve stabilire se un imputato sia Colpevole () o Innocente (). Il quadro di discernimento è:

Un testimone chiave, la cui affidabilità oggettiva è stimata all'80% (ad esempio, a causa di scarsa visibilità), dichiara: "Ho visto l'imputato commettere il reato".

Nel calcolo delle probabilità classico, si sarebbe costretti ad assegnare il restante 20% all'ipotesi contraria (Innocente). Nella DST, l'inaffidabilità della fonte si traduce in mancanza di informazioni (ignoranza), non in un'evidenza contraria. La si formalizza così:

(Il testimone non sa o potrebbe confondersi, lasciando l'intero quadro aperto)

Calcolando le funzioni di Credenza e Plausibilità per l'innocenza:

L'intervallo di confidenza per l'innocenza è . Questo risultato riflette accuratamente lo stato giuridico: non vi è alcuna prova che l'imputato sia innocente (), ma rimane una plausibilità del 20% legata al fatto che il testimone potrebbe aver sbagliato.

Fusione di sensori in robotica Un veicolo autonomo deve identificare un ostacolo sul suo percorso. Le ipotesi sono: Macchina (), Pedone (), o Detrito stradale ().

Il robot raccoglie dati da due sensori indipendenti: una telecamera (Sorgente 1) e un sensore LiDAR (Sorgente 2).

Telecamera (): Rileva una sagoma alta, escludendo il detrito basso, ma la forte illuminazione solare impedisce di distinguere tra auto e pedone:

LiDAR (): Rileva una superficie metallica riflettente di grandi dimensioni, supportando fortemente l'ipotesi macchina, ma mantenendo un piccolo margine di errore per altri oggetti:

Applicando la regola di combinazione di Dempster, si calcolano le intersezioni tra le due fonti:

(0,8) (0,1) (0,1) (0,7) (0,56) (0,07) (0,07) (0,3) (0,24) (0,03) (0,03)

In questa matrice, nessuna intersezione produce l'insieme vuoto (). Di conseguenza, il conflitto è nullo: e il fattore di normalizzazione .

Sommando i valori per i rispettivi insiemi focali, otteniamo la massa combinata :

La fusione dei sensori ha ridotto l'incertezza: la credenza che l'ostacolo sia una macchina () sale stabilmente all'80%, poiché l'evidenza parziale della telecamera () ha trovato una forte convergenza con il dato specifico del LiDAR (). Limitazioni e varianti strutturali

Paradosso di Zadeh Nel 1984, il matematico Lotfi Zadeh ha evidenziato un comportamento controintuitivo della regola di combinazione originaria in presenza di forti conflitti latenti () .

Si supponga di avere un quadro e due periti che esprimono i seguenti giudizi: Fonte 1: , Fonte 2: ,

Il calcolo del conflitto restituisce . Applicando la normalizzazione di Dempster, si ottiene:

L'esito indica certezza assoluta sul target , nonostante ambo le fonti ritenessero l'evento estremamente improbabile (1%). Questo fenomeno deriva dalla drastica eliminazione della massa associata al conflitto strutturale.

Teoria del modello a credenza trasferibile Per superare le criticità legate alla normalizzazione forzata, Philippe Smets ha proposto il Transferable Belief Model (TBM) . Il TBM adotta l'assunzione del mondo aperto (open-world assumption), ammettendo che la massa assegnata all'insieme vuoto possa essere maggiore di zero (). Tale valore esprime la credenza quantificabile che la verità risieda in un'ipotesi esterna non codificata all'interno del frame .

Regola di combinazione di Yager Un ulteriore approccio alternativo per la gestione del conflitto è stato teorizzato da Ronald R. Yager . Nella regola di Yager, la massa conflittuale non viene eliminata tramite normalizzazione, ma viene interamente allocata all'elemento focale dell'ignoranza totale :

Note

Voci correlate Incertezza Logica fuzzy Ragionamento probabilistico Reti bayesiane Teoria della probabilità

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