In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.
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Enunciato Data una funzione continua su , sia un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio la cui ascissa curvilinea si estenda tra e , tali che . Se
allora
ove è un qualunque numero reale positivo. Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che sia omotopo ad un arco di circonferenza.
Dimostrazione Essendo per ipotesi
allora parametrizzando
in particolare
quindi
la funzione è maggiorante della funzione quindi
passando al limite per
ovvero l'asserto.
Osservazioni Prima Omettendo l'ipotesi che resta dimostrata la seguente stima
Seconda L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo . Sembrerebbe essere escluso il caso con negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo .
La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di con , in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione
da cui la maggiorazione
Terza In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.
Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:
con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti
ove su si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio .
Invece su si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a apporta un contributo nullo.
Quarta Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.
Voci correlate
Teorema dei residui Analisi complessa Lemma del cerchio grande Lemma del cerchio piccolo Polo (analisi complessa)
Collegamenti esterni
Categoria:Analisi complessa Jordan, lemma di