In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo ) di insiemi. Il simbolo deriva da U, l'iniziale della parola "unione". Dati due insiemi e , la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono: al solo insieme , al solo insieme , a entrambi.
L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione inclusiva.
Definizione L'unione di due insiemi e si denota comunemente con . Si ha che è un elemento di se e solo se è un elemento di almeno uno degli insiemi e , in simboli:
L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia di insiemi, l'unione è definita come l'insieme a cui un elemento appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli .
Esempi Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: e . In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:
Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano: l'insieme dei numeri interi divisibili per , l'insieme dei numeri interi divisibili per . è l'insieme dei numeri interi divisibili per e/o per .
Proprietà
L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:
Infatti
L'unione è un'operazione associativa:
Infatti
Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo
Storia Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.
Note
Voci correlate Intersezione Insieme complemento Teoria degli insiemi
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