In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0", che segue una progressione geometrica:
È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova si ottenga il primo successo è
con k = 1, 2, 3, …
La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:
per k = 0, 1, 2, 3, …
In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.
Definizione La distribuzione geometrica è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma , con dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro si ricava da
E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).
Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo , allora la distribuzione della variabile casuale sarà . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.
Processo di Bernoulli La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli di parametro :
Caratteristiche Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha funzione di probabilità
funzione di ripartizione
valore atteso
varianza
funzione generatrice dei momenti funzione caratteristica
I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione: se è un numero intero () allora e ; se invece non è intero, allora (parte intera). In particolare la mediana è se con intero, altrimenti.
Assenza di memoria La distribuzione geometrica è priva di memoria, ossia
ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.
L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta
pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro .
Generalizzazioni Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.
Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.
Esempi La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova Xi ha probabilità di fornire "4" (successo) e di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi
La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece
La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria
Voci correlate Distribuzione di Bernoulli Distribuzione di Panjer Distribuzione di Pascal Mancanza di memoria Processo di Bernoulli Variabile casuale
Altri progetti
Collegamenti esterni
Geometrica