Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.
Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.
Equazione cartesiana Fissiamo due punti e , in modo che coincida con l'origine degli assi e sia posto a distanza da esso. Un generico punto del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:
dove è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha
che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa
Riorganizzando l'equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l'equazione della circonferenza in forma canonica:
Proprietà Dall'equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:
il centro del cerchio è posto in , e si trova sempre sul prolungamento del segmento ; il raggio del cerchio vale ; per il cerchio di Apollonio degenera nell'asse del segmento ; per il cerchio contiene il punto ; per il cerchio contiene il punto ; quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio uguale alla lunghezza del segmento .
Voci correlate Circonferenza Cerchio Problema di Apollonio
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Problemi di inseguimento, una applicazione del cerchio di Apollonio Una applet java interattiva per disegnare il cerchio di Apollonio
Categoria:Geometria piana Categoria:Scienza ellenistica