In algebra lineare, la decomposizione di Schur o triangolazione di Schur è un importante procedimento di fattorizzazione di una matrice. Esso prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur.
Enunciato
Sia A una matrice quadrata di numeri complessi; questa A può essere decomposta come
dove Q è una matrice unitaria, Qh denota la trasposta coniugata di Q e U denota una matrice triangolare superiore le cui entrate diagonali sono esattamente gli autovalori di A. La decomposizione di Schur non è unica.
Variante reale
Nel caso in cui A sia a valori reali posso ottenere una decomposizione alternativa, di sole matrici reali, del tipo
Q è ancora una volta unitaria, Qt la trasposta di Q e U''' una matrice triangolare a blocchi sulla diagonale. I blocchi di dimensione 1 sono costituiti dagli autovalori reali, i blocchi di dimensione 2 dalla coppia di autovalori complessi e posti nella forma seguente:
Note
Se A è una matrice normale, allora U è ancora una matrice diagonale e i vettori colonna di Q sono gli autovettori di A e la decomposizione di Schur è chiamata decomposizione spettrale.
Inoltre, se A è definita positiva, la decomposizione di Schur di A coincide con la decomposizione ai valori singolari della matrice.
L'individuazione computazionale di tale decomposizione è un problema ben condizionato, a differenza della Forma canonica di Jordan.
Bibliografia
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare'', Zanichelli, Bologna 1988.
Voci correlate Analisi numerica Decomposizione di Cholesky Decomposizione di Crout Decomposizione di una matrice
Collegamenti esterni
Categoria:Decomposizione matriciale