In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.
In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata .
Primo teorema di Helly Sia data una successione di funzioni a variazione limitata su un intervallo , convergenti puntualmente a una funzione e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste tale che:
Allora la funzione limite è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua si verifica:
Secondo teorema di Helly Da ogni insieme infinito di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato , uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo .
Generalizzazioni Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.
Sia uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia un sottoinsieme convesso di . Detta una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che è una successione uniformemente limitata in con per ogni e . Allora esiste una sottosuccessione e una coppia di funzioni tali che:
per ogni , e:
per ogni .
Bibliografia
Voci correlate Funzione a variazione limitata Integrale di Stieltjes Limitatezza uniforme Sottosuccessione Successione di funzioni
Collegamenti esterni
Helly