In matematica, le costanti di Stieltjes sono i coefficienti che compaiono nell'espansione in serie di Laurent della funzione zeta di Riemann:
La costante è più nota come costante di Eulero-Mascheroni.
Rappresentazioni Le costanti di Stieltjes sono date dal limite
nel caso , nella prima sommatoria compare , che si pone uguale a 1.
La formula di Cauchy fornisce una rappresentazione integrale
Altre rappresentazioni in termini di serie e integrali compaiono nei lavori di Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine e altri autori.Marc-Antoine Coppo. Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes. Expositiones Mathematicae, vol. 17, pp. 349-358, 1999.Mark W. Coffey. Series representations for the Stieltjes constants, arXiv:0905.1111Junesang Choi. Certain integral representations of Stieltjes constants, Journal of Inequalities and Applications, 2013:532, pp. 1-10 In particolare, la formula integrale di Jensen-Franel, spesso attribuita erroneamente a Ainsworth e Howell, afferma che
dove è la delta di Kronecker. Inoltre, si hanno le seguenti identità
Per quanto riguarda le rappresentazioni in serie, nel 1912 HardyG. H. Hardy. Note on Dr. Vacca's series for γ, Q. J. Pure Appl. Math. 43, pp. 215–216, 2012. trovò la seguente serie in cui compare la parte intera di un logaritmo,
IsrailovM. I. Israilov. On the Laurent decomposition of Riemann's zeta function [in Russian]. Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 158, pp. 98-103, 1981. scoprì una serie semiconvergente in termini dei numeri di Bernoulli
Connon, Blagouchine e Coppo fornirono invece molte serie che coinvolgono i coefficienti binomiali
dove sono i coefficienti di Gregory, anche conosciuti come numeri logaritmici reciproci (, , , ,... ). Oloa e Tauraso mostrarono che certe serie con i numeri armonici conducono alle costanti di Stieltjes
Blagouchine ottenne una serie lentamente convergente in cui compaiono i numeri di Stirling del primo tipo senza segno
insieme a una serie semiconvergente con solo termini razionali
dove . In particolare, la serie per la prima costante di Stieltjes ha una forma sorprendentemente semplice
dove è l'-esimo numero armonico. Delle serie molto più complicate sono fornite negli scritti di Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey.
Stime e andamento asintotico Le costanti di Stieltjes in valore assoluto soddisfano il seguente maggiorante
scoperto da Berndt nel 1972.Bruce C. Berndt. On the Hurwitz Zeta-function. Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 2, no. 1, pp. 151-157, 1972. Migliori stime in termini di funzioni elementari furono ottenute da LavrikA. F. Lavrik. On the main term of the divisor's problem and the power series of the Riemann's zeta function in a neighbourhood of its pole (in Russian).Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 142, pp. 165-173, 1976.
e da Israilov
con e , ,...; da Nan-You e WilliamsZ. Nan-You and K. S. Williams. Some results on the generalized Stieltjes constants. Analysis, vol. 14, pp. 147-162, 1994.
e inoltre da Blagouchine
dove sono i numeri di Bernoulli. Infine si ha la seguente stima di MatsuokaY. Matsuoka. Generalized Euler constants associated with the Riemann zeta function. Number Theory and Combinatorics: Japan 1984, World Scientific, Singapore, pp. 279-295, 1985Y. Matsuoka. On the power series coefficients of the Riemann zeta function. Tokyo Journal of Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 49-58, 1989.
Per quanto riguarda le stime per mezzo di funzioni non elementari e loro soluzioni, Knessl, CoffeyCharles Knessl e Mark W. Coffey. An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants. Math. Comp., vol. 80, no. 273, pp. 379-386, 2011. and Fekih-Ahmed ottennero dei risultati abbastanza precisi. Per esempio, Knessl e Coffey fornirono la seguente formula che approssima le costanti di Stieltjes relativamente bene per grande. Se è la soluzione unica di
con , e se , allora
dove
Fino a , l'approssimazione di Knessl-Coffey ha predetto correttamente il segno di , con la singola eccezione di .
Valori numerici I primi valori di sono:
{| class="wikitable" | || valore approssimato di || OEIS |- | 0 || +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 || A001620 |- | 1 || −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 || A082633 |- | 2 || −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 || A086279 |- | 3 || +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 || A086280 |- | 4 || +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 || A086281 |- | 5 || +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 || A086282 |- | 6 || −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 || A183141 |- | 7 || −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 || A183167 |- | 8 || −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 || A183206 |- | 9 || −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 || A184853 |- | 10 || +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 || A184854 |- | 100 || −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017 || |- | 1000 || −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486 || |- | 10000 || −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883 || |- | 100000 || +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432 ||
Per grande, le costanti di Stieltjes crescono rapidamente in valore assoluto, e cambiano segno con uno schema molto complesso.
Si possono trovare ulteriori informazioni sulla valutazione numerica delle costanti di Stieltjes nei lavori di Keiper,J.B. Keiper. Power series expansions of Riemann ζ-function. Math. Comp., vol. 58, no. 198, pp. 765-773, 1992. Kreminski,Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants. Math. Comp., vol. 72, no. 243, pp. 1379-1397, 2003. PlouffeSimon Plouffe. Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each e Johansson.Fredrik Johansson. Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives, arXiv:1309.2877 L'ultimo autore ha dato i valori delle costanti di Stieltjes fino a , ciascuna precisa alla 10000ª cifra. I valori numeri si possono trovare anche in LMFDB.
Costanti di Stieltjes generalizzate Informazioni generali Più in generale, si possono definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie di Laurent della funzione zeta di Hurwitz:
dove è un numero complesso con . Dal momento che la funzione zeta di Hurwitz è una generalizzazione della funzione zeta di Riemann, si ha che . La costante con è semplicemente la funzione digamma , mentre non si sa se anche le altre costanti sono riconducibili a una funzione elementare o classica dell'analisi. A ogni modo, esistono numerose rappresentazioni per queste costanti. Per esempio, esiste la seguente rappresentazione asintotica
dovuta a Berndt e Wilton. L'analoga per le costanti di Stieltjes generalizzate della formula di Jensen-Franel è la formula di Hermite
Le costanti di Stieltjes generalizzate soddisfano la seguente relazione ricorsiva
come anche il teorema di moltiplicazione
dove indica il coefficiente binomiale.
Prima costante di Stieltjes generalizzata La prima costante di Stieltjes generalizzata possiede un bel numero di proprietà notevoli. Identità di Malmsten (formula di riflessione per la prima costante generalizzata): la formula di riflessione per la prima costante di Stieltjes generalizzata è la seguente
dove e sono due interi positivi tali che . Questa formula è stata attribuita per lungo tempo a Almkvist e Meurman, che la derivarono negli anni '90.V. Adamchik. A class of logarithmic integrals. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997. Tuttavia, si è recentemente scoperto che l'identità, sebbene in una forma leggermente diversa, fu per la prima volta ottenuta da Carl Malmsten nel 1846.
Teorema degli argomenti razionali: la prima costante di Stieltjes generalizzata può essere calcolata nei numeri razionali in forma quasi-chiusa attraverso la seguente formula
Una dimostrazione alternativa fu successivamente proposta da Coffey e molti altri autori.
Somme finite: esistono molte sommatorie che riguardano la prima costante di Stieltjes generalizzata. Per esempio:
Per ulteriori dettagli e sommatorie, vedere.
Alcuni valori particolari: Alcuni particolari valori di con razionale si possono ricondurre alla funzione gamma, alla prima costante di Stieltjes e a qualche funzione elementare. Per esempio,
I valori della prima costante di Stieltjes generalizzata nei punti , e furono ottenuti indipendentemente da Connon e Blagouchine
Nei punti , e
Questi valori sono stati calcolati da Blagouchine. Sono dovute allo stesso autore anche le seguenti identità
Seconda costante di Stieltjes generalizzata La seconda costante di Stieltjes generalizzata è molto meno studiata della prima. Similmente alla prima, si possono calcolare i valori di con razionale e attraverso la seguente formula
Un risultato equivalente fu ottenuto successivamente da Coffey per mezzo di un altro metodo.
Note
Voci correlate Costante di Eulero-Mascheroni Funzione zeta di Riemann Serie di Laurent Costante di Apéry
Collegamenti esterni