In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma conoscendo valori della funzione nell'intervallo .
Teorema Dati punti nodali in un intervallo , e una funzione , il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura è uguale a se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale in rispetto ad una funzione peso .
Dimostrazione Per ipotesi si scelga una , spazio dei polinomi di grado , la scelta della infatti non influenza la successione di valori .
Vale allora che
perché, essendo univocamente determinati i pesi , la formula di quadratura deve essere di precisione almeno . Si consideri il polinomio , un polinomio di grado , tale che per ogni e che , dove è un polinomio ortogonale di grado avente gli zeri nei punti nodali.
È quindi possibile scrivere
ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo polinomio ortogonale. Ne consegue che
da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado .
Calcolo dei pesi Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione è costruito come
o generalmente
dove è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice . Si ha che può anche essere espresso come
Se si intende con la funzione così definita:
Il polinomio ortogonale ha zeri, quindi
dunque
Pertanto il generico peso è calcolabile come
Bibliografia E. T. Whittaker e G. Robinson The Calculus of Observations (London, Blackie & sons, 1924) p. 159 M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (New York, Dover, 1972) p. 887 P. J. Davis e P. Rabinowitz, Methods of numerical integration. (New York, Academic Press, 1975).
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Categoria:Analisi numerica